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On sait enfin qu' chaque angle solide aboutissent trois artes dans le 

 ttradre , l'hexadre et le dodcadre rguliers, quatre artes dans l'octadre 

 et cinq artes dans l'icosadre. 



On peut encore tablir facilement la proposition suivante : 



I er Thorme. Les centres des diverses faces d'un polydre rgulier 

 quelconque sont les sommets d'un autre polydre rgulier. D'ailleurs deux 

 polydres rguliers, dont l'un a pour sommets les centres des faces de 

 l'autre, sont ncessairement ou deux ttradres, ou un hexadre et un 

 octadre, ou un dodcadre et un icosadre. 



2 e Thorme. Dans tout polydre rgulier, la droite mene du centre 

 un sommet est perpendiculaire aux plans de divers polygones rguliers 

 auxquels appartiennent tous les sommets situs hors de cette droite. 



Si le polydre donn est un ttradre, un seul sommet sera situ sur 

 la droite dont il s'agit, les trois autres appartiendront un triangle quila- 

 tral dont le plan sera perpendiculaire la droite. 



Si le polydre donn est un hexadre, ou un octadre, ou un dod- 

 cadre, ou un icosadre, deux sommets seront les extrmits d'un mme 

 diamtre men par le centre du polydre. Les autres sommets appartien- 

 dront deux triangles quilatraux, ou un seul carr, ou deux triangles 

 quilatraux et deux hexagones rguliers, ou enfiu deux pentagones 

 rguliers, dont les plans seront perpendiculaires au diamtre dont il s'agit. 



En partant de ces remarques , on dmontrera sans peine une relation 

 curieuse qu'ont entre eux les trois polydres dans lesquels trois arles abou- 

 tissent chaque sommet, savoir, le ttradre, l'hexadre et le dodcadre 

 rguliers. Cette relation est exprime par le thorme suivant: 



h 3 e Thorme. Les sommets def hexadre ou du dodcadre rgulier sont 

 en mme temps les sommets de deux ou de cinq ttradres rguliers. 



h Pour tablir ce thorme, il suffit de recourir aux considrations sui- 

 vantes : 



Joignez par un diamtre deux sommets opposs d'un cube ou hexadre 

 rgulier. Les six sommets situs hors de ce diamtre appartiendront deux 

 triangles quilatraux , et le ttradre qui , ayant pour base un de ces triangles 

 aura pour sommet l'une des extrmits du diamtre, savoir l'extrmit la plus 

 loigne de la base, sera videmment un ttradre rgulier; car, chacune de 

 ses artes tant la diagonale d'une des faces du cube donn, les quatre artes 

 seront toutes gales entre elles, s 



Concevons maintenant que l'on joigne par un diamtre deux sommets 



