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 opposs A et A' d'un dodcadre rgulier. Les trois peutagones adjacents 

 au sommet A offriront en outre : i trois sommets B, C, D situs aux extr- 

 mits des trois artes qui partiront du sommet A; a six autres sommets 

 E, F, G, H, I , K situs deux deux sur les primtres des trois pentagones 

 aux extrmits de six diagonales gales entre elles. De ces neuf sommets, les 

 trois premiers appartiendront un triangle quilatral , et les six derniers 

 un hexagone rgulier, le plans de ces deux polygones tant perpendiculaires 

 la droite AA'. Ce n'est pas tout: les six sommets de l'hexagone EFGHIK., 

 pris de deux en deux, appartiendront deux triangles quilatranx EGI , 

 FHR. J'ajoute que, si l'on donne un de ces deux derniers triangles, EGI 

 par exemple, pour base un ttradre dont le sommet soit A', ce ttradre 

 sera rgulier. Effectivement les quatre artes du ttradre dont il s'agit 

 seront toutes gales l'une quelconque des diagonales qui, dans le dod- 

 cadre , joindront deux sommets tellement situs que, pour passer de l'un 

 l'autre, il suffise de parcourir successivement trois artes non comprises 

 dans un mme plan. D'ailleurs, il est clair qu'aprs avoir ainsi construit un 

 ttradre rgulier, auquel appartiendront quatre sommets du dodcadre, et 

 spcialement le sommet A', il suffira de faire tourner le dodcadre autour de 

 la perpendiculaire abaisse de son centre sur une face adjacente au sommet A', 

 pour amener successivement ce sommet dans les positions d'abord occupes 

 par les quatre autres sommets de la mme face; et, par suite, pour ame- 

 ner successivement les quatre sommets A', E, G, I dans les positions d'a- 

 bord occupes par les seize autres sommets du dodcadre. Donc les vingt 

 sommets du dodcadre seront en mme temps les sommets de cinq t- 

 tradres rguliers. 



Supposons prsent que du centre d'un polydre rgulier on mne 

 des rayons vecteurs aux divers sommets de ce polydre. On construira ainsi 

 une espce de hrisson; et, si Ton considre une grandeur ou quantit dont 

 la valeur dpende de la direction d'une droite manant du centre du 

 polydre, la moyenne arithmtique entre les diverses valeurs de cette quan- 

 tit correspondantes aux divers rayons vecteurs ne variera pas, lorsqu'un 

 mouvement de rotation imprim au hrisson l'aura dplac de manire 

 -substituer les rayons vecteurs l'un l'autre. Si cette dernire condition 

 n'est pas remplie, la moyenne arithmtique dont il s'agit, acquerra en 

 gnral, aprs le dplacement du hrisson, une valeur nouvelle. Mais, cette 

 valeur dpendant uniquement du nouvel aspect sous lequel le hrisson se 

 prsentera, on pourra, sans l'altrer en aucune manire, supposer qu'en 

 vertu du mouvement de rotation , la droite suivant laquelle un des rayons 



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