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prises, par rapport l'abscisse, entre les limites i , + i , et, par rapport 

 l'angle polaire, entre les limites n, + n, la moyenne qu'on obtient est la 

 moyenne arithmtique entre les valeurs de la fonction u correspondantes 

 des lments gaux et infiniment petits de la surface totale de la sphre. Cette 

 moyenne, d'ailleurs, dpend uniquement de la loi suivant laquelle u varie 

 avec la direction d'une droite mobile mene par l'origine des coordonnes. 

 Elle est, au contraire, indpendante des directions assignes l'axe des 

 abscisses et au plan polaire; elle demeure donc invariable, tandis qu'on fait 

 tourner cet axe et ce plan, d'une manire quelconque, autour de l'origine. 

 Pour cette raison, la moyenne dont il s'agit sera nomme moyenne isotropique. 



Si la fonction dpend seulement d'un angle polaire, la moyenne 

 isotropique entre les diverses valeurs de cette fonction ne sera autre chose que 

 sa valeur moyenne. 



Concevons maintenant qu'une certaine grandeur u soit reprsente par 

 une fonction des coordonnes rectangulaires de divers points. Cette fonction 

 variera gnralement avec les directions des axes coordonns. D'ailleurs, 

 la direction d'un premier axe pourra tre dtermine l'aide d'une abscisse , 

 mesure sur une certaine droite, et d'un angle polaire dcrit par un plan mo- 

 bile qui tournerait autour de cette droite. De plus, la direction d'un second 

 axe perpendiculaire au premier pourra tre dtermine l'aide d'un second 

 angle polaire dcrit par un plan qui tournerait autour du premier axe. Cela 

 pos, nommons v la moyenne arithmtique entre les valeurs de u correspon- 

 dantes au second angle polaire, et tv la moyenne isotropique entre les di- 

 verses valeurs de v. La quantit w sera ce qu'on peut appeler la moyenne 

 isotropique entre les diverses valeurs de u. 



Dans le cas particulier o la fonction u deviendra indpendante des 

 directions attribues aux axes coordonnes, nous dirons qu'elle est isotrope. 

 Alors, la moyenne isotropique entre les valeurs de la fonction correspon- 

 dantes aux diverses positions des axes coordonns ne sera autre chose que 

 la fonction elle-mme. 



Lorsqu'une grandeur Q. dpend des positions de plusieurs points, elle 

 peut tre reprsente par une fonction de leurs coordonnes, et, si l'on 

 exprime ces coordonnes, supposes variables, par consquent relatives 

 des axes mobiles, en fonction de coordonnes relatives des axes fixes, cette 

 transformation de coordonnes introduira dans l'expression de la grandeur 

 dont il s'agit , trois angles variables <p , % , ty. Alors aussi la moyenne isotropique 

 entre les diverses valeurs de la fonction sera reprsente par une intgrale 

 t riple, relative ces trois angles. Mais, avant de passer des axes mobiles aux 



