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 sphre, qui empchait la dispersion de cette vapeur. M. Babinet a cru plu- 

 sieurs fois reconnatre, dans de pareilles bandes arrivant de l'ouest, la 

 configuration sinueuse du cours de la Seine infrieure, en y faisant, du 

 reste , la part des effets de perspective qui , comme on sait , modifient consi- 

 drablement l'aspect des lignes parallles et les dimensions apparentes des 

 objets d'une tendue considrable. 



gomtrie. Observations relatives aux thormes de gomtrie noncs 

 par M. auchy, dans la sance du 8 mai dernier; par M. P. Breton, de 

 Champ. * 



A l'occasion des thormes de gomtrie analytique exposs par M. au- 

 chy, je prends la libert de rappeler l'Acadmie que j'ai eu l'honneur de lui 

 adresser antrieurement (les 6 et 25 novembre 1844, et le i(\ fvrier 1 845) 

 des recherches du mme genre, et certains gards tout fait semblables. 

 La Commission charge d'examiner mou travail n'ayant pas fait de Rapport, 

 M. Cauchy n'a pu le connatre. Si quelques-uns des rsultais qu'il a obtenus 

 sont analogues aux miens, cela n'a rien qui doive surprendre, puisqu'il 

 les tire du mme principe, lequel consiste en ce que la somme des valeurs 

 ipue prend une Jonction entire du sinus de l'arc w, quand on attribue 



cette variable les valeurs successives w, w -t , u -+- a . -, . . . , m + (n 0- -, 



la fonction n tant compose que de termes de degr pair, et u , u -\ , 



m -I- 2 . , . . . , w -f- (n i ) , la Jonction tant de degr pair ou impair, 



est indpendante de o> toutes les Jois que ce degr est infrieur n. 

 Cette proposition fondamentale, que M. Cauchy dduit trs-lgamment de 

 la thorie des racines de l'unit, rsulte simplement, ainsi que je l'ai tabli 

 dans le travail ci-dessus rappel, de ce que les facteurs de tout produit 

 sin^ cos ? sont dveloppables en fonction des sinus et cosinus des mul- 

 tiples de w, et de ce que chaque produit partiel se dcompose ensuite en 

 sinus ou cosinus de la somme et de la diffrence de ces multiples. Fartant, 

 tout se rduit trouver des sommes de sinus et cosinus d'arcs croissant en 

 progression arithmtique, ce que l'on fait au moyen des formules donnes par 



Euler. Les suites de multiples tant fxu, [x ( u + -),..., p. \w + (n i ) - h 

 et fi, jfClwH -),..., p. w -H/ , rentrent dans la suite plus g- 

 nrale /j.w, [x( w +- -), fi(o) -+- ")'. ; P- ( u + ~~).i et ' ou a l )OIU ' 



