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 ce motif, tre range dans la classe des fonctions discontinues; et cependant 

 la mme fonction pourra tre regarde comme continue , quand on la re- 

 prsentera par l'intgrale dfinie 



2 C xdt 



./o *' + x ' 



ou mme par le radical 



qui est la valeur particulire de la fonction continue 



\/x 2 + t\ 



correspondante une valeur nulle de t. Ainsi, le caractre de continuit 

 dans les fonctions, envisag sous le point de vue auquel se sont d'abord 

 arrts les gomtres, est un caractre vague et indtermin. Mais l'ind- 

 termination cessera si la dfinition d'Euler on substitue celle que j'ai 

 donne dans le chapitre II de Y Analyse algbrique. Suivant la nouvelle 

 dfinition, une fonction de la variable relle x sera continue entre deux 

 limites a et b de cette variable , si , entre ces limites , la fonction acquiert 

 constamment une valeur unique et finie, de telle sorte qu'un accroissement 

 infiniment petit de la variable produise toujours un accroissement infini- 

 ment petit de la fonction elle-mme. Alors , si la variable est prise pour 

 abscisse, la fonction suppose relle sera l'ordonne d'une branche de 

 courbe continue, comprise entre deux droites perpendiculaires l'axe des 

 abscisses, et rencontre en un seul point par chacune des droites parallles 

 que l'on pourrait tracer entre les deux premires. La continuit des fonc- 

 tions ainsi dfinie est d'ailleurs un caractre dont l'importance se trouve 

 aujourd'hui gnralement apprcie par les gomtres. C'est en tenant 

 compte des solutions ou interruptions observes dans cette espce de 

 continuit, que je suis parvenu dterminer, pour les quations algbri- 

 ques, le nombre des racines qui satisfont des conditions donnes, par 

 exemple, le nombre des racines dont le module demeure compris entre 

 deux limites donnes; et c'est encore cette espce de continuit qui forme , 

 comme je l'ai dmontr, le caractre distinctif des fonctions dveloppables 

 en sries convergentes ordonnes suivant les puissances entires et ascendantes 

 d'une ou de plusieurs variables. 



Enfin, de l'analyse dont j'ai fait usage pour tablir le thorme re- 



