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latif la convergence des dveloppements des fonctions, on peut aisment 

 dduire l'extension donne par M. Laurent ce thorme , et l'on reconnat 

 ainsi que la continuit est encore le caractre distinctif des fonctions dve- 

 loppables en sries ordonnes suivant les puissances entires, positives et 

 ngatives des variables. Gomme cette dernire proposition peut recevoir un 

 grand nombre d'applications utiles, il importe de la bien prciser et d'en- 

 trer ce sujet dans quelques dtails. 



Considrons une variable imaginaire x. Elle sera le produit de son mo- 

 dule par une certaine exponentielle trigonomtrique; et, pour obtenir toutes 

 les valeurs de la variable correspondantes un module donn, il suffira de 

 faire crotre l'argument de cette variable, c'est--dire l'argument de l'expo- 

 nentielle trigonomtrique, depuis la limite zro jusqu' une circonfrence en- 

 tire a it, ou , ce qui revient au mme, depuis la limite n jusqu' la limite it. 

 Si , tandis que l'argument varie entre ces limites et le module entre deux limites 

 donnes, une fonction relle ou imaginaire de x reste continue par rapport 

 l'argument et au module, de manire reprendre la mme valeur quand 

 l'argument passe de la valeur n la valeur -hit, cette fonction sera, 

 entre les limites assignes au module , ce que nous appelons une fonction 

 continue de la variable x. Cela pos , le thorme gnral sur le dveloppe- 

 ment en srie des fonctions d'une seule variable peut tre nonc dans les 

 termes suivants. 



I er Thorme. Une fonction relle ou imaginaire de la variable x sera 

 dveloppable en une srie convergente ordonne, d'unct, suivant les puis- 

 sances entires positives, d'un autre ct, suivant les puissances entires n- 

 gatives de x, tant que le module de x conservera une valeur comprise entre 

 deux limites entre lesquelles la fonction et sa drive ne cesseront pas 

 d'tre continues. 



Ce thorme entrane videmment le suivant. 



2 e Thorme. Une fonction relle ou imaginaire de la variable x sera, 

 pour une valeur donne du module de x, dveloppable en une srie or- 

 donne, d'un ct, suivant les puissances entires positives, d'un autre ct, 

 suivant les puissances entires ngatives de la variable, si, dans le voisinage 

 .de cette valeur, la fonction et sa drive restent continues par rapport x. 



Les thormes que nous venons de rappeler peuvent tre immdiate- 

 ment tendus au dveloppement des fonctions de plusieurs variables. 



> D'ailleurs ces thormes ne sont pas seulement applicables au dveloppe- 

 ment des fonctions explicites d'une variable x. Ils s'appliquent encore au 



