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 dveloppement des fonctions implicites. Mais alors se prsente rsoudre un 

 nouveau problme : il s'agit de reconnatre si , pour un module donn de la 

 variable x, une fonction u de x, dtermine par une quation entre x et u, 

 reste avec sa drive, continue par rapport x. Or, ce nouveau problme 

 peut tre effectivement rsolu dans un grand nombre de cas, l'aide des 

 considrations suivantes. 



Supposons que, le second nombre de l'quation entre x et u tant nul , 

 le premier membre renferme avec x et u, un ou plusieurs paramtres. Il ar- 

 rivera souvent que , pour une valeur particulire de l'un de ces paramtres , 

 une racine de l'quation rsolue par rapport u sera videmment fonction 

 continue de x, au moins tant que le module de x restera lui-mme compris 

 entre certaines limites. Concevons maintenant que l'on fasse varier par de- 

 grs insensibles le paramtre a dont il s'agit , et supposons que le premier 

 membre de l'quation propose reste, du moins entre certaines limites, fonc- 

 tion continue, non-seulement de ce paramtre, mais encore de x et de u. 

 Enfin admettons, pour fixer les ides, que la racine en question soit une ra- 

 cine simple. Alors , par des raisonnements semblables ceux dont nous avons 

 fait usage dans le Mmoire sur la nature et les proprits des racines d'une 

 quation qui renferme un paramtre variable (voir le i e volume des Exer- 

 cices d Analyse et de Physique mathmatique, pages 1 1 1 et suivantes), on 

 prouvera que la racine en question variera gnralement avec le paramtre a 

 par degrs insensibles, en restant fonction continue de x , jusqu' l'instant o , 

 de nouvelles racines devenant quivalentes la premire , l'quation propose 

 acquerra des racines gales. D'ailleurs, on prouvera sans peine qu'avant cet 

 instant le dveloppement de u suivant les puissances entires de x se trouvera 

 reprsent par une srie dont le module ou les modules seront infrieurs 

 l'unit, et l'on peut ajouter qu' cet instant mme les drives de u, prises par 

 rapport x, deviendront gnralement infinies partir d'un certain ordre 

 ce qui exige qu'alors le module ou l'un des modules du dveloppement de u 

 se rduise l'unit. Ces observations fournissent le moyen de dterminer 

 en gnral le module ou les deux modules de la srie qui reprsente une 

 fonction implicite de la variable x, dveloppe suivant les puissances en- 

 tires et ascendantes, ou mme suivant les puissances entires positives et 

 ngatives de cette variable. 



Dans un autre Mmoire j'appliquerai les principes que je viens d'tablir 

 aux sries qui reprsentent en astronomie les dveloppements des fonctions 

 perturbatrices. 



G. H., t 844, I er Semestre. (T. XYlil, N4.) I 7 



