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sera videmment reprsent par le produit 



et, comme ce produit exprimera encore les modules des sries composes des 

 termes que l'on obtiendra en diffrentiant une ou plusieurs fois de suite , par 

 rapport x, les divers termes de la srie (3); comme d'ailleurs une srie 

 est toujours convergente, et offre une somme finie, tant que son module 

 reste infrieur l'unit; il est clair que, si la fonction f (x) ou ses drives 

 deviennent infinies pour la valeur R du module r de x, le produit pR de- 

 vra se rduire l'unit. On aura donc alors 



et par suite la] srie (3) aura pour module g. Alors aussi, pour r< R, il sera 



facile de calculer une limite suprieure au module du reste de la srie (3), 

 arrte aprs un nombre quelconque de termes. 



Dsignons maintenant par la seule lettre u la fonction f(ar), et sup- 

 posons que u soit une fonction implicite de x, qui reprsente une racine 

 simple de l'quation 



(4) F (a, x) = o. 



Enfin concevons que le premier membre de l'quation (4) renferme, 

 avec les variables x et u, un ou plusieurs paramtres, et que, pour une 

 certaine valeur, par exemple pour une valeur nulle du paramtre a, la 

 racine simple u de l'quation (4) reste fonction continue de x, du moins 

 tant que le module de x ne dpasse pas une certaine limite. En raisonnant 

 comme la page 1 13 du volume II des Exercices d 'Analyse, on prouvera 

 que , si le paramtre a vient varier, et si , tandis qu'il varie , le premier 

 membre de l'quation (4) reste fonction continue de x , u et a , la racine 

 simple u restera gnralement fonction continue de x, jusqu' l'instant o, 

 une seconde racine devenant gale la premire , l'quation (4) acquerra 

 des racines multiples. Soit R la valeur du module r pour laquelle une se- 

 conde racine de l'quation (i) deviendra gale u. Il est clair que, pour 

 cette valeur de r, et pour une valeur correspondante de l'argument m de 

 la variable x , on aura 



D u F(u,x) = o. 



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