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Donc alors aussi la valeur de D x u, tire de 1 quation (4) et dtermine par 

 la formule 



D,M =- 



D U F (,*)' 



deviendra gnralement infinie. Cette dmonstration neseraitplus admissible, 

 si la valeur de x qui rend une seconde racine u, rduisait D X F (u, x) zro. 

 Mais il est facile de s'assurer qu'en gnral le module R correspondant cette 

 racine rendrait infinies, partir d'un certain ordre, les drives 



D x u, Dlit, Dlu,. . . . 



Donc, en vertu de ce qui a t dit plus haut, le module de la srie qui re- 

 prsentera la fonction u dveloppe suivant les puissances ascendantes de x 

 sera gnralement 



r 

 R' 



Soit maintenant 



u = f (x) 



une fonction de x qui, avec sa drive f (j?), reste finie et continue par rap- 

 port x, pour des valeurs du module r comprises entre les limites 



r = r, r == R; 

 et posons simultanment 



y =z r e , * = Ke 



L'quation (i) devra tre remplace par la suivante 



et, en posant, pour abrger, 



on tirera de l'quation (5) 



(6) f(x) = a +- a,x + a 2 x 2 +-...-+ a_,x~ { + a^x' 2 +... 



