( 3 ) 



On pourra d'ailleurs supposer, comme ci-dessus, que u reprsente une racine 

 simple d'une certaine quation (4) qui renfermerait, avec les variables xetu, 

 un paramtre a. Si, pour une valeur particulire de ce paramtre, u se r- 

 duit effectivement une fonction continue de x , alors, le paramtre venant 

 varier, u ne cessera pas d'tre fonction continue de x t du moins entre cer- 

 taines limites de r, jusqu' l'instant o, une seconde racine de l'quation (4) 

 devenant gale u, cette quation acquerra des racines gales. Cela pos, si 

 l'on dsigne par r , R les limites infrieure et suprieure qu'atteint le mo- 

 dule r, quand une seconde racine de l'quation (4) devient , par suite de la 

 variation du paramtre a, quivalente la racine u, alors, en raisonnant 

 comme dans le cas prcdent, on prouvera que les deux modules de la srie 



se rduisent gnralement aux deux rapports 



r, r 



r' R" 



II. Applications. 



Appliquons quelques exemples les principes tablis dans le I er , 

 et d'abord supposons que la fonction u de x reprsente celle des racines de 

 l'quation 



(i) aU 2 2M -t- x = o 



qui, pour une valeur nulle du paramtre a, se rduit 



u = \x. 



Comme le premier membre de l'quation (i) est une fonction toujours con- 

 tinue des variables x , u et du paramtre a , il en rsulte que si ce para- 

 mtre, cessant d'tre nul, acquiert une valeur infiniment petite, restera 

 fonction continue de la variable x , au moins pour des valeurs finies de cette 

 variable. Si, le paramtre a variant encore, son module crot de plus en 

 plus par degrs insensibles, ne cessera pas d'tre, pour un module donn 

 de la variable x, fonction continue de cette variable , jusqu'au moment o , 

 par suite de la variation de a, une seconde racine u de l'quation (i), 

 devenant gale la premire, vrifiera non-seulement cette quation, mais 



