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 Ces mmes modules se rduiront l'un et l'autre la fraction 



i 

 R' 



si le module r de la variable x se rduit l'unit. 



III. Observations relatives aux fonctions discontinues . 



Les formules (i i) et (5) du I er , dans lesquelles 

 (i) u = (x) 



reprsente une fonction explicite ou mme implicite de la variable imaginaire 



(a) x re ? , 



supposent que cette fonction reste continue , par rapport au module r, entre 

 les limites o et R , ou r et R, et par rapport l'argument <p entre les limites 

 7r, -+ 7r. Elles supposent par suite, non-seulement que u varie par degrs 

 insensibles avec le module <p, mais encore que u reprend la mme valeur 

 quand l'angle y se trouve augment d'une circonfrence entire. Si cette der- 

 nire condition cessait d'tre remplie, les formules (i) et (5) devraient subir 

 des modifications que nous allons indiquer, en nous occupant seulement de 

 la formule (5), qui comprend comme cas particulier la formule (i). 



Supposons u dtermin en fonction de x par l'quation (i), ou mme 

 par une quation de 1 a forme 



(3) F (u, x) = o. 

 On aura , eu gard la formule (a), 



(4) Dx" 7= D ? ; 



r\ 1 



et l'on peut observer qu'une racine u de l'quation (3) satisfera gnralement 

 la condition (4) , lors mme que cette racine ne reprendrait pas les mmes 

 valeurs, quand on fera crotre l'argument <p d'une circonfrence. Ainsi, en 

 particulier, l'quation (4) sera satisfaite si l'on prend pour u la racine 



(5) u =l(r) + <p\/~, 



