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l'exposant y tant rel, mais suprieur l'unit, et F (x) dsignant une fonc- 

 tion qui conserve une valeur finie pour x = x r Or, comme dans ce cas le 

 produit (6) s'vanouira pour x = x r/ , il est naturel de penser qu'alors la va- 

 leur moyenne S de la fonction f (x) restera invariable, tandis que le module r 

 de x passera d'une limite plus petite que r t/ la valeur r . Pour transformer 

 cette conjecture en certitude, il suffira d'observer qu' l'aide d'une intgration 

 par parties, on tirera de la formule (i), jointe la formule (8) , 



! 



et que cette dernire valeur de se rduit une fonction de r qui reste g- 

 nralement finie et varie par degrs insensibles , tandis que r varie entre les 

 limites r = r t , r = r t/ , de manire pouvoir mme atteindre la limite r it . 



Lorsque la fonction f (x) est de l'une des formes dtermines par les 

 quations (7), (9), alors, en posant 



(11) jrzrzry , z = ry y 



on trouve 



non-seulement pour un module r de x compris entre les limites r = r ; , 

 r = r t/ , mais encore pour l'une des valeurs r = r n r=r u . Si la fonction (x) 

 tait la fois des deux formes dtermines par les formules (7) et (9), la 

 formule (12) subsisterait pour r=r t et pour r = r if . Admettons cette der- 

 nire hypothse; alors on aura, mme pour r = r et pour r= r u , 



(3) f(x) = a -h a, x -+- a a x 2 -f- ... + <z_, x~ { + a_ 2 x~ 2 -+- . .., 



les valeurs de a et de a_ tant 



a " = h ^"H^)dp, 



Alors aussi les deux modules de la srie qui reprsente le dveloppement 



