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d'o il rsulte que le point P se confondra simplement avec le point O , si 

 celui-ci correspond une valeur nulle de p , et que la distance CB sera la 

 moiti de la distance CA, si le point A correspond p = r. Donc, en d- 

 finitive, pour rsoudre le problme nonc, il suffira de construire le point 

 O ou A dont les coordonnes X, jr x z sont dtermines par la formule (4), 

 lorsqu'on suppose dans cette formule p = o, ou p = r. 



Or, chacune des formules (i), prise sparment, reprsente l'une des 

 quatre sphres dcrites des centres C, C,, C, C w , avec des rayons qui- 

 valents aux valeurs numriques des binmes 



rp, r,p, rp, r m p; 



et la fonction A-, quand on prend pour x, y, z les coordonnes d'un point 

 extrieur la premire de ces sphres , reprsente le carr d'une tangente 

 mene de ce point la sphre. Donc le plan reprsent par l'une quel- 

 conque des quations (3) est celui que M. Gaultier, de Tours, a nomm le 

 plan radical correspondant deux des sphres dont il s'agit, c'est--dire le 

 lieu gomtrique de tous les points d'o l'on peut mener ces deux sphres 

 des tangentes gales. Donc le point dont les coordonnes x, j; z se trouvent 

 dtermines par le systme des quations (3), ou, ce qui revient au mme, 

 par la formule (4), sera le centre radical du systme des quatre sphres, c'est- 

 -dire le point commun aux plans radicaux qui correspondront ces mmes 

 sphres combines deux deux. Enfin les quatre sphres dont il s'agit 

 se rduiront videmment, si l'on pose p = o, celles qui, tant dcrites des 

 centres C, C;, G ff , G m , ont pour rayons 



n r " r ,n r m , 



par consquent aux quatre sphres donnes; et, si l'on pose p = r, aux 

 quatre sphres qui, tant dcrites des mmes centres, auront pour rayons 

 les valeurs numriques des quantits 



2 /, r, r, r t/ . r, r r. 



Donc, pour trouver une sphre qui en touche quatre autres , dcrites 

 des centres C , G, , G , G m avec les rayons r, r t , r u , r m , il suffira de recourir 

 la rgle suivante : 



Dterminez le centre radical O correspondant au systme des quatre 

 sphres donnes, puis le centre radical A de quatre nouvelles sphres qui y 



