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une courbe lastique double courbure, le moment de cette lasticit de 

 torsion est constant, dans toute l'tendue de la courbe en quilibre. 



Lagrange avait form les quations de l'quilibre pour le cas spcial o 

 la raction de l'angle de contingence est en raison inverse du rayon oscula- 

 teur, la courbe n'tant d'ailleurs soumise qu' l'action de forces agissant 

 ses extrmits : ces hypothses sont les plus naturelles et les plussimples que l'on 

 puisse se proposer ; cependant, aprs avoir donn les quations diffrentielles 

 du second ordre de la courbe, le grand analyste ajoute ces mots : Mais l'int- 

 gration ultrieure est peut-tre impossible en gnral. Les gomtres 

 n'crivent gure de telles rflexions qu'aprs avoir tent l'intgration , et avoir 

 rencontr une difficult insoluble. Lagrange abandonne donc la double cour- 

 bure, et il retrouve, pour la courbe plane, les rsultats connus. Les formules 

 plus compltes de Poisson se ramnent celles de Lagrange , si l'on suppo- 

 sait nul le moment de la torsion, ce qui n'est pas permis en gnral. On pou- 

 vait craindre que leur intgration prsentt encore plus de difficults que les 

 quations de Lagrange; et aucun analyste , que je sache, n'y est parvenu. J'ai 

 quelquefois hsit aborder ce sujet, en raison de la complication qu'il fai- 

 sait entrevoir comme invitable. Les savantes recherches de M. de Saint- 

 Venant sur la rsistance des pices solides double courbure, m'ayant ra- 

 men vers un champ d'tudes que j'avais perdu de vue , j'ai voulu m 'assurer 

 si la difficult de l'intgration des quations de la courbe lastique tait in- 

 surmontable : aprs plusieurs tentatives, et aprs quelques transformations, 

 j'ai vu se dvelopper une analyse rgulire qui offre, dans sa premire partie, 

 de singuliers rapports avec celle du pendule oscillations coniques. Ainsi , 

 les fonctions elliptiques qui se prsentrent Jacques Bernoulli, pour la 

 courbe lastique plane, fournissent encore, dans la question gnrale, les 

 intgrations qui abaissent au premier ordre les quations diffrentielles. 

 Dans l'intgration dfinitive, l'lment de chaque coordonne est une fonc- 

 tion plus compose, o entrent des sinus et des cosinus d'une fonction ellip- 

 tique. Ces combinaisons ne paraissent pas susceptibles, quant prsent, d'tre 

 rduites aux simples fonctions elliptiques ; mais le problme analytique n'en 

 est pas moins rsolu, puisqu'il est ramen aux quadratures. 



ANALYSE. 



Les quations drives compltes de la courbe lastique double cour- 

 bure, en quilibre sous l'action de forces qui agissent ses extrmits seule- 

 ment, et dont l'lasticit de l'angle de contingence est en raison inverse du 

 rayon de courbure, sont de cette forme: 



