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IV. 



Les racines de lequation 



x'Cr.) x'Cr *)' x'lr*) = 



qui se sont prsentes comme limites des intgrales qui entrent dans l'ex- 

 pression des indices de priodicit, jouissent de la proprit gnrale d'tre 

 les valeurs maxima ou minima des fonctions inverses. Cela rsulte des ex- 

 pressions de leurs diffrences partielles que je vais rapporter. 

 Soit 



(3) F(x, y) == p.,/; (*, y) + ^/ a (x, y) + ... + 'fffyfc y) ; 



concevons qu'on dtermine les constantes /u par les 7 1 conditions 



F (>2, y W ) = o, F(x 3 , y w ) = o, ..., F(x 7 , y M ) = o. 



Nommons F t (x,y) ce que devient alors l'expression (3); les quations (2) 

 donneront sans peine 



jg _ p.x'(ro)) dx x _ ^x'(y)) dz, PyX'ltto) 



du, ~ F, (* JJj' du, F, (* XO)Y " * ' du y F, (* j (0 )' 



De mme, si l'on appelle F t (x, y) la fonction F(x, y) dtermine par les 

 conditions 



F (^> fi*)) = o, F(x 3 , y w ) =s o, ..., F(x. /7 jr ( ,,) bb o, ; 

 on aura 



d _ _ f-x'(.r()) dxi _ frz' (?(,)) dx, _ _ P y x' (/(*)) 



<'. F 2 (x 2 , jr W )' te, F 2 (x 2 , jr(2))'"'' du y F 2 (x j- (l) )' 



et ainsi de suite ; d'o rsulte la proposition nonce. 



De ce qui prcde, on tire des quations linaires aux diffrences par- 

 tielles qui mritent d'tre indiques, savoir: 



f* (*, jr (2) ) ~ + f t (x 2 , J(2) ) g + . . . + j;( Xi Jw ) ^=x' Cr), 



