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 En multipliant les deux membres de ces quations par dx , dy , <lz, et 

 ajoutant, il vient 



o = 6ds -+- g (ydx: ocdy), ou xdy ydx = - = ds. 



On trouve aussi, en ajoutant les deux premires multiplies respectivement 

 par x et y, 



fe d 2 z(xdy-ydx) - pdz(xd 2 y - yd 2 x) = ftffi^ft, 



ou, en vertu de la prcdente, si l'on prend s pour variable indpendante, 



pd 7 z _ xdx -\- ydy 

 gds 1 ds 



et, en intgrant, 



2 a dz c 



g ds g 



Ainsi les deux quations diffrentielles du premier ordre sont 



xdy ydx = -ds, et 2 yy J = gr 2 - t , 



en dsignant par r le rayon vecteur de la projection, \Jx- -+- y 2 . Ces qua- 

 tions expriment deux proprits faciles noncer, qui pourraient servir 

 caractriser la courbe. 



III. 



Le calcul s'achve aisment au moyen des coordonnes semi-polaires. 

 Si l'on appelle t l'angle que fait le rayon r avec l'axe des x et <? l'arc de la 

 projection sur le plan des xy, on aura 



r 2 dt = - ds , ds 2 =a do~ -+- dz 2 , 

 g 



da 2 = dr 2 + r 2 dt 2 , et ? = ^=- c , 



ds ip 



quations qui permettront d'exprimer s, t et z en fonction de r. Mais il est 



