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Mais les relations, telles que (9), ne permettent pas de prendre [j.,^',...,p.'"~" 

 arbitrairement; il faudra, entre autres conditions, que les nombres com- 

 plexes |ut,'", fx"", fx.'"" vrifient l'quation ' . - 



(11) fx' + fi' = z, ^" . 



Or, pour que cette quation (11) ft possible, il faudrait ncessairement que 

 la somme des """" puissances des nombres complexes fx.' et fx'" ft divisible 

 par z'"'^\ ce qui est impossible. On dmontre d'ailleurs que z, = r-h r^"-*> 

 ne peut tre la n"^"^" puissance d'un nombre complexe. 

 II est donc impossible de satisfaire l'quation 



(12) ' ; A" + B=:G'' ; ' ' ' ' 



en prenant pour A, B, G des nombres complexes de la forme (i). 



Toutefois, le cas de n = 3 chappe ce genre de dmonstration, car 

 alors il n'y a qu'une seule valeur de z,-, laquelle est i , et tout le systme 

 des quations (6) , exprim en p. , /x', fx", se rduit l'quation unique 



3 , /o . 3 



(i3) . . , fx^ + fx^ + fx' 



en sorte que l'impossibilit de l'quation (1 2), dans le cas particulier de n = 3. 

 exige que l'on ait recours l'ancien mode de dmonstration. 



Le thorme de Fermt, pour 7>3, n'est qu'un cas particulier de 

 celui qui vient d'tre dmontr; car si A et B sont des entiers, ou s'ils se r- 

 duisent U,, j3o5 M sera entier, ainsi que G, k, fx; maisfx', [jl",.--,/^'""*' seront 

 toujours des nombres complexes : seulement, leur produit devra tre un mo- 

 dule entier, c'est--dire que|Jt,,pt.',...,pt.'"~'' devront tre les sus-facteursd'un 

 nombre entier de la forme Y^ : Z^ ; enfin , les relations telles que (i 1) se- 

 ront encore ncessaires, et la conclusion d'impossibilit sera la mme, 



Observations de M. Liouville. 



Dans la communication qu'il vient de faire l'Acadmie, M. Lam 

 a bien voulu dclarer qu'il a suivi une ide dont je lui avais fait part 

 autrefois : celle d'introduire des nombres complexes drivs de l'qua- 

 tion binme r" i = o dans la thorie de l'quation x" j-" ^z z" , pour 

 essayer d'en conclure l'impossibilit de cette dernire quation, soit en 

 nombres entiers ordinaires , soit mme en nombres complexes de la forme 

 indique. Une telle ide n'a rien de neuf en soi, et a d se prsenter naturel- 



