f 4o7 ) 



THORiK DES NOMBRES. Mmoire sur les racines des quations alg- 

 briques coefficients entiers, et sur les polynmes radicaux ; par 

 M. Augustin Cauchy. 



En recherchant les proprits que possdent les racines d'quations al- 

 gbriques coefficients entiers, je me suis trouv conduit divers rsultats 

 qui m'ont paru dignes de remarque, et que je vais indiquer en peu de mots. 



P"". Sur les quations algbriques coefficients entiers. 

 ' ' Soit If) [x] une fonction entire de .r du degr /n, en sorte qu'on ait 



> (jc) = flo + a, a: + . . . -I- fl, jr'". 

 Si les valeurs numriques des coefficients ' . 



Uq, a, , , . . ,a,n 

 se rduisent des nombres entiers, l'quation ^ , 



(i) (p(x)=o -'' " 



sera ce que j'appellerai une quation algbrique coefficients entiers. Si 



W ., . xW = o ... 



reprsente une seconde quation de mme espce, qui ait des racines com- 

 munes avec la premire , il suffira de chercher le plus grand commun diviseur 

 algbrique entre les deux polynmes f{x),y^ {x) , puis d'galer ce plus grand 

 commun diviseur zro , pour obtenir une troisime quation 



(3) sr(x) = o, 



qui offrira toutes les racines communes aux deux premires. Cette troisime 

 quation sera elle-mme coefficients entiers, si avant d'effectuer chacune 

 des divisions partielles que rclame la recherche du plus grand commun di- 

 viseur, on a eu soin de multiplier chaque dividende par un facteur entier, 

 convenablement choisi. En consquence, on peut noncer la proposition 

 suivante : 



I*'' Thorme. Si deux quations algbriques et coefficients entiers 

 offrent des racines communes, celles-ci sont, en mme temps, les racines 

 d'une troisime quation algbrique et coefficients entiers. 



54. . 



