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Corollaire i". En vertu des relations qui existeront entre les dividendes 

 et diviseurs partiels et les restes correspondants, le premier membre de la 

 formule (3) sera videmment li aux premiers membres des formules (i) et 

 (2), par une quation de la forme 



(4) " rs{x) = Uff{x)-i>x{x), 



M, V tant deux fonctions entires deor coefficients entiers. Si l'on nomme m 

 le degr de (f{x), n le degr de / ix) , et v le degr de w {x) , les degrs de u et 

 de i> seront respectivement n v i etm v i . D'ailleurs, lorsque zr (or) 

 sera connu, les valeurs de m et de i^ pourront se dterminer directement 

 l'aide d'une mthode semblable celle que j'ai donne dans \es Exercices de 

 Mathmatiques j 1. 1", p, 160. 



Corollaire 1". Si, des deux quations donnes, celle qui est de degr 

 moindre offre des racines trangres l'autre, la troisime quation sera n- 

 cessairement d'un degr infrieur aux degrs des deux premires. 



Corollaire 3*. Si des deux quations donnes , la seconde n'offre pas 

 de racines trangres la premire, (p{x) sera divisible algbriquement par 

 j( (jc), et l'on aura 



(5) k(p{x) = vx{x), 



V dsignant une nouvelle fonction entire et coefficients entiers, et k une 

 quantit constante. Si, dans le diviseur /(.a:), la puissance la plus leve 

 de a: a pour coefficient l'unit, alors le coefficient k pourra tre rduit 

 l'unit, puisque la division algbrique fournira immdiatement pour le 



quotient '. une fonction entire de x k coefficients entiers. Donc alors , la 



formule (5) pourra tre rduite 



(6) y (.r) = i^ X {x). 



Une quation algbrique et coefficients entiers sera irrductible, s'il 

 n'est pas possible de former une autre quation algbrique , de degr 

 moindre et coefficients entiers, qui ait avec elle des racines communes. 

 Nous supposerons d'ailleurs gnralement que, dans mon quation irr- 

 ductible, les divers coefficients, rduits leurs moindres valeurs numri- 

 ques, n'offrent pas de diviseur qui leur soit commun tous. Cela pos, le 

 thorme 1*"' entranera videmment les propositions suivantes : 



2 Thorme. Une quation algbrique et coefficients entiers n'est 



