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on aura , pour une valeur quelconque relle ou imaginaire de la variable x , 



(9) 3^ = {ao-i-a,x)xiJc)-hkX, 



X{^) dsignant une fonction entire de x, du degr m 1 , coefficients 

 entiers, et k un coefficient constant dont la valeur numrique soit entire. 



Dans la recherche des diviseurs radicaux d'un nombre entier donn X, 

 on peut toujours supposer que le diviseur radical cherch, et mme le quo- 

 tient du nombre X par ce diviseur, n'offrent pas de facteurs entiers. En effet, 

 si dans l'quation (7), on supposait 



ou 





y, [p) ou ;(, {p) tant un polynme radical coefficients entiers, c devrait 

 diviser X, et l'quation (j) pourrait tre remplace par la suivante: 



T = 9*ip)x{p)^ ou ^ = )(,3)x,(p), 



en vertu de laquelle 9, {p)ouf (p) serait diviseur de 



On pourra donc toujours supposer, dans le 3* thorme, que chacun 

 des facteurs radicaux a^ -+- a^p,^^ (p) n'offre pas de diviseurs entiers. Alors les 

 coefficients Uo, a, seront premiers entre eux, et, par suite, comme il est ais 

 de le voir, chacun d'eux sera premier n. Alors aussi , en nommant p un di- 

 viseur premier de X, on tirera de la formule (9), 



(10) (0 -i- a^ x) )(_{jc) + kX ^ o , (mod. p) , 



-V ' \ 'j - . 



quelle que soit la valeur attribue X. La formule (10) se rduirait 



(11) {ao-ha,x)x{x) = o, {mod.p), 



si p divisait k. Mais comme, dans cette hypothse, l'quation (i i), dont le 

 degr est m, devrait offrir ya racines distinctes, il est clair qae p devrait tre 

 infrieur ou tout au plus gal m. 



>' Lorsque, Uq et a, tant premiers entre eux , le binme radical a^-h a, p 

 sera diviseur de X, si d'ailleurs X n'a pour facteurs premiers que des nom- 

 bres suprieurs m, il suffira de choisir x de manire vrifier la condition 



(12) o + a,j:^o, (mod.X), 



