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que {a + b\l i), qui divise AB, devra diviser BR, et, par suite, B mul- 

 tipli par le dernier reste : i ou sj~ i , ce qui dmontre le principe 

 nonc. 



On voit que la dmonstration repose uniquement sur cet axiome : Une 

 quantit complexe , qui divise les parties d'une somme ou l'un des facteurs 

 d'un produit, divise cette somme ou ce produit; ce qui rsulte de la dfi- 

 nition du mot divisible. 



Le procd employ indique la srie d'oprations faire pour trouver 

 le plus grand commun diviseur de deux quantits complexes, et l'on voit 

 que le nombre d'oprations ne saurait dpasser le degr de la plus grande 

 puissance de 2 contenue dans le carr du module le plus petit. 



On tirera de ce principe fondamental toutes les consquences connues 

 pour les nombres premiers ordinaires. Il en rsulte qu'un nombre ne peut 

 tre dcompos que d'une manire en facteurs premiers complexes, et qu'un 

 nombre divisible par plusieurs nombres complexes premiers entre eux est 

 divible par leur produit. 



Ces principes serviront dmontrer avec la plus grande facilit les 

 proprits des nombres de la forme jt^ +J'^' Ainsi tout diviseur premier 

 d'un pareil nombre est de la mme forme, sans quoi il faudrait qu'il ft 

 premier complexe (non divisible par un nombre complexe), et il ne pourrait 



alors diviser x + jr sj i sans diviser x et j- ; ce qu'on ne suppose pas. Tout 

 nombre premier de la mme forme ne peut tre dcompos que d'une ma- 

 nire en deux carrs: car si x^ + y^ tait gal m^ + t'^, il faudrait que 

 X + y )j' I ne ft pas premier; il serait donc divisible par un facteur pre- 

 mier p -\- q s/ i> et son conjugu p q \/ i diviserait x J\J i; en 

 sorte que x^-^-j"^., admettant le diviseur p^ -t- q"^, ne serait pas un nombre 

 premier. On peut remarquer que les facteurs conjugus p -\- q\j i et 

 n q\J I sont toujours premiers entre eux, except quand p=: y = 1 ; alors 

 I + yj I est gal \l i (i sj i), et c'est pour cela que le 

 nombre 2 fait exception dans la plupart des principes. 



" 2. Considrons maintenant un nombre complexe provenant des racines 

 de l'quation *V 



. r" I = o , 



et bornons-nous d'abord au cas de n = 3. Le nombre a+ br-\- cr* sera 

 alors premier, s'il n'est divisible que par lui-mme ou par les puissances de r. 

 tmitons la dmonstration prsente ci-dessus, et divisons par a -h br+ ci' 



