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un nombre de mme forme. On peut rduire ces nombres l'expression 

 plus simple a 4- hr, puisque /-^ == i r. Nous poserons encore 



m -\-nr 



d'o 



am -^ bn bm un bm 



P ~~ a'+b' ab et -T^rbTZT^' 



et nous prendrons les parties entires p' et q' de p et q , de sorte que 

 p=:p'-\-a,q = q' + , en dsignant par a et des quantits positives 

 moindres que i. On aura alors la relation 



m-\- nr (a + br) [p' -h q'r) + (a + Sr) {a + br), 



et le reste de la division sera un nombre complexe gal (a + r) {a -+- hi). 

 Mais si nous appelons module de l'expression complexe a+br le nombre rel 

 que l'on obtient en multipliant les rsultats de la substitution de diverses 

 valeurs imaginaires de r, le module d'un produit sera gal au produit des 

 modules des facteurs; ainsi le module du reste sera gal au module du di- 

 viseur multipli par le module de a + Sr. Or ce module 



' , a + *-ga = (a+gr)(a + r) ' ; 



est toujours infrieur l'unit quand a et sont positifs et moindres que i, 

 et il n'atteint la limite i que pour a= i, S = o. Donc le module du reste 

 pourra toujours tre rendu moindre <\ue celui du diviseur. Il en rsulte que 

 si l'on divise ensuite le diviseur par le reste , et ainsi de suite , on arrivera 

 un reste dont le module sera nul, puisque ces modules sont ncessairement 

 entiers. Quand la quantit a -\- br est premire , le dernier diviseur ne peut 

 tre qu'une puissance de r, et l'on dmontre, comme ci-dessus, que ce 

 nombre premier ne peut diviser un produit sans diviser l'un des facteurs. 



La mme mthode donne le moyen de trouver le plus grand commun 

 diviseur entre deux nombres complexes de la forme a -+- br-h cr^ ou a-\- br; 

 de plus, le nombre des oprations sera au plus gal la plus grande puis- 

 sance de ^ contenue dans le plus petit module , puisque l'on peut rendre le 



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 module de a 4- r ou a'' + ^ a plus petit que >-, en prenant a et S com- 



pris entre H et . ' 



r 2 2" 



Comme consquence de ce principe relatif aux nombres complexes 



