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 plus grand commun diviseur, sont entirement applicables aux polynmes 

 complexes; et, pour le prouver, il a commenc par reproduire, peu de 

 chose prs, l'analyse dont M. Dirichlet a fait usage dans un beau Mmoire 

 sur les formes quadratiques. A la vrit , l'auteur de la Note a reconnu que 

 les mmes principes s'appliquent aux polynmes complexes qui renferment 

 les racines cubiques de l'unit ; mais une objection s'lve contre le passage 

 o il assure qu'on peut aisment tendre le mme mode de dmonstration 

 aux nombres complexes de forme plus complique qui dpendent des racines 

 de l'quation binme 



x" = I , 



n tant un nombre entier quelconque. En effet, suivant la Note cite, pour 

 oprer cette extension , il suffirait de prouver que le produit d'un polynme 

 donn par les polynmes semblables qu'on obtient en substituant successi- 

 vement l'une l'autre les diverses racines imaginaires de l'quation binme, 

 est un nombre toujours infrieur l'unit , lorsque , dans le polynme 

 donn, chaque coefficient est compris entre zro et l'unit. Or il est ais de 

 voir que cette dernire proposition ne saurait tre admise, mme dans le cas 

 trs-simple oi l'on prend = 7. En effet, si l'on nomme p une racine pri- 

 mitive de l'quation binme 



a-' = I, 



on aura , comme l'on sait , 



| -f- p' -I- p' -t- (5* + (5=' + p* = 1 



p /s' -<- p'' . fj' + (5* p' = 7^ y/- 



et, par suite, le module de chacune des sommes 



p + p" + p*, f + ^^ -\- p" 



sera rduit au module commun des deux expressions imaginaires 



-1 



c'est--dire y'a. Donc le produit des deux sommes sera gal au nombre 2, 

 ce dont il est d'ailleurs facile de s'assurer directement; et si l'on dsigne par 

 f(p) l'une des deux sommes, par exemple le trinme complexe 



9' + 9\ 



