( 570 ) 



comme les nombres entiers. Je suis parvenu vaincre cette premire diffi- 

 cult dans un travail fort tendu, qui, outre des thormes connus, en con- 

 tient d'autres que je crois nouveaux. 



Parmi ces thormes, il en est deux que je citerai, cause de leur im- 

 portance dans la question qui m'occupe. Voici en quoi consiste le premier. 

 On dmontre que deux nombres complexes imaginaires , qui ont pour 

 normes- un mme nombre premier, autre que l'exposant 5 , jouissent entre eux 

 de cette rciprocit, que l'und'eux est divisible parun des conjugus de l'autre, 

 et par un seul; le quotient ayant d'ailleurs pour norme l'unit. De l rsulte 

 que les nombres complexes conjugus, dont le produit est un nombre pre- 

 mier autre que l'exposant , sont ncessairement premiers entre eux ; ou , en 

 d'autres termes, que toute norme premire, autre que 5, est le produit de 

 quatre sous-facteurs complexes, premiers entre eux , ou qui ne peuvent ad- 

 mettre d'autre diviseur commun qu'un sous-facteur de l'unit. Mais il y a 

 exception pour l'exposant 5 lui-mme : un quelconque de ses quatre sous- 

 facteurs, multipli par des coefficients dont la norme est i , peut reproduire 

 les trois autres. En sorte que 5 n'a rellement qu'un seul sous-facteur; 5 est 

 gal la quatrime puissance de ce sous-facteur unique, multipli par un 

 coefficient dont la norme est i . Cette proprit caractristique de l'exposant 

 se retrouve dans toutes les classes des nombres complexes. 



" Voici le second thorme. Les conjugus d'un mme nombre complexe 

 imaginaire se partagent en groupes binaires, chacun de ces groupes jouis- 

 sant de cette proprit , que les deux nombres qui le composent donnent un 

 produit rel; ces deux nombres peuvent tre appels conjugus directs. Cela 

 pos , le thorme dont il s'agit consiste en ce que la diffrence des cin- 

 quimes puissances de deux conjugus directs est divisible par la cinquime 

 puissance du sous-facteur de 5. Une proprit analogue existe pour les 

 exposants suprieurs. 



J'arrive de suite l'objet spcial de ce Mmoire. La somme des cin- 

 quimes puissances de deux nombres complexes peut-elle tre nulle? On d- 

 montre, trs-peu prs comme pour la solution en nombres entiers, qu'une 

 telle quation ne peut exister sans que l'un des trois nombres complexes soit 

 divisible par le sous-facteur de 5, et consquemment par son carr. Alors , 

 mettant ce nombre dans le second membre, la somme de deux cinquimes 

 puissances qui compose le premier tant dcompose eu cinq facteurs com- 

 plexes, que l'on peut concevoir dgags de tout facteur commun , on voit 

 facilement, l'aide d'une dmonstration connue , qu'un seul de ces facteurs , 

 ainsi rduits, est divisible par la cinquime puissance du sous-facteur de 5. 



