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 Les cinq facteurs sont d'ailleurs ncessairement des cinquimes puissances, 

 multiplies par des coefficients dont la norme est l'unit. 



C'est dans la composition de ces coefficients que se trouvaient les prin- 

 cipales difficults. Chacun d'eux peut tre gnralement le produit d'une 

 des racines cinquimes de l'unit , par une somme relle de deux de ces 

 racines, leve une puissance infrieure 5. En un mot, chaque coefficient 

 est le produit de deux nombres complexes, l'un rel, l'autre imaginaire. 

 Cette complication m'a longtemps arrte; mais les deux thormes que j'ai 

 noncs, et cette ncessit qu'un des cinq facteurs soit divisible par la cin- 

 quime puissance du sous-facteur de 5, lvent cette difficult. Ces thormes 

 runis font voir clairement que les coefficients dont il s'agit ne peuvent avoir 

 de facteur imaginaire. 



Enfin les cinq facteurs, composs comme je viens de le dire, tant 

 substitus dans les quations qu'ils doivent vrifier , reproduisent au moins 

 une quation d'une forme analogue celle d'o l'on est parti, et que l'on 

 traite de la mme manire. En sorte qu'aprs un nombre limit de transfor- 

 mations semblables, on est ncessairement conduit une quation de mme 

 forme qu'une autre quation qui la prcde dans la srie, mais exprime en 

 nombres beaucoup plus petits ; la grandeur d'un nombre complexe se mesu- 

 rant par celle de sa norme. Et ce rsultat dmontre l'impossibilit de 

 l'quation primitive, en nombres complexes ayant des normes finies. 



Il est donc dmontr que la somme des cinquimes puissances de trois 

 nombres complexes ne peut tre nulle. Ce thorme spcial, rduit au cas 

 particulier des nombres entiers, est tabli depuis longtemps par les travaux 

 de M. Dirichlet et de Legendre. Il existe une concidence remarquable 

 entre la marche qu'ils ont suivie , et celle laquelle j'ai successivement t 

 ramen par les difficults que j'ai leves. 



" Mais ce qui me parat surtout mriter l'attention des gomtres , dans le 

 mode de dmonstration que je viens de dvelopper, en prenant pour 

 exemple l'exposant 5, c'est la possibilit de l'appliquer, ds prsent, 

 d'autres exposants. 



Les rgles de la divisibilit des nombres complexes sont les mmes 

 pour toutes les classes. La proprit dont jouit 5, de n'avoir qu'un seul sous- 

 facteur, appartient tout exposant premier. On dmontre que la diffrence 

 des n^<^'"" puissances de deux conjugus directs est divisible par la '*"'* puis- 

 sance du sous-facteur de n. En outre , la dcomposition de la somme de deux 

 """"puissances en facteurs complexes, les proprits et les relations de ces 

 facteurs, sont gnralement tablies dans ma premire Note. 



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