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III. Consquences diverses de la dcomposition des polynmes radicaux en facteurs 



premiers. 



Soit n un nombre premier impair ; soit encore p une racine imaginaire , 

 par consquent primitive , de l'quation 



(i) j:-i=o, 



et supposons tablie la thorie de dcomposition des polynmes radicaux 

 forms avec cette racine , en facteurs premiers. Le nombre premier n pourra 

 tre dcompos en facteurs radicaux l'aide de l'quation identique 



(a) = (,-p)(,-p^)...(i-p-'). 



Mais ces facteurs ne seront pas premiers entre eux. Au contraire, tous seront 

 divisibles par l'un quelconque d'entre eux, les quotients tant des diviseurs 

 de l'unit. Car, si l'on nomme ip ( p ) le quotient qu'on obtient en divisant i f>* 

 par I p* , h et k tant deux termes quelconques de la suite 



I , 2, 3, ... I , 

 on aura videmment 



f[p)9{p)-- ?{P )-(i_p*)(,_p>*)...[,_p("-.)*]' 

 par consquent 



?{p)?iP')---9{p'-') = l=^- 



On peut observer encore, qu'en vertu de la formule (2), on aura 

 (3) n = {i-pY^{p), 



^ip) tant un polynme radical coefficients entiers, quivalent au produit 

 des rapports 



n-i 



I p' I P' a I P"~' 3 



7^17 = '+/=' 7^ = 1 + /' + /' '' T^r^=' + P + P' +-+- P' 



II est d'ailleurs vident que, dans la formule (2), chaque facteur sera pre- 

 mier, c'est--dire non dcomposable en deux facteurs qui ne diviseraient 

 pas l'unit; car une telle dcomposition entranerait la dcomposition du 

 nombre n lui-mme en deux facteurs distincts de l'unit, ce qui est impos- 

 sible. Donc i p est un facteur premier de , et la formule (3) fournit la 

 proposition suivante : 



1" Thorme, n tant un nombre premier impair, et p une racine pri- 



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