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entre eux. Donc la formule (i5) donnera simplement 



(19) (p(r)x(r)<|;(r)... = o (mod.X), 



et l'on pourra noncer la proposition suivante : 



2 Thorme. Supposons le nombre X dcompos en facteurs radicaux 

 forms avec la racine primitive p de l'quation 



Mr>j;.->;ik 



X" = I, 



et la dcomposition effectue, comme on peut toujours l'admettre, de ma- 

 nire que parmi ces facteurs radicaux, l'un, au plus, divise l'unit. Si l'on 

 nomme 



les facteurs de X qui ne divisent pas l'unit ; si d'ailleurs les nombres n , -X 

 sont tels, que l'on puisse satisfaire pour des valeurs entires de j: l'qui- 

 valence ^ 



,. . ' x"^ i (mod. X), 



toute racine primitive r de cette quivalence rendra le produit 



divisible par 3Z>. 



Corollaire. Si 3t, se rduit un nombre premier/?, la formule (19) en- 

 tranera l'une des suivantes , 



(20) (r) = o, x(0 = o, t{;(r) = o,... (mod. p). 



Les propositions et formules prcdentes fournissent immdiatement, 

 quand n est rduit un nombre premier impair, plusieurs des rsultats aux- 

 quels est parvenu M. Rummer. 



Lorsqu'en supposant n premier et impair, on pose , dans la formule (16), 



A' = I , . ..'-., 



la fonction 



x" Il 



X = 



se rduit prcisment au nombre n, et, par suite, la formule (16) donne . 

 (21) N9(<9) = [9(i)]''-* (mod. n). ... 



Cette dernire quivalence, tant combine avec un thorme connu de 



