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 Donc alors, dans l'quivalence (2), le degr de {[x) pourra toujours tre 

 abaiss au-dessous de la limite iV 4- co, qui, elle-mme, est infrieure au 

 module n. 



Revenons maintenant au cas oi le module n est un nombre premier, le 

 dfr de f (ar) tant, comme on peut le supposer, infrieur n. Alors, en 

 s'aidant de quelques formules tablies dans le premier volume des Exercices 

 de Mathmatiques , page 1 60 , on arrive aux propositions suivantes : . -, 



>' i*"' Thorme. Le module n tant un nombre premier, une fonction de 

 f(a:) coefficients entiers ne peut tre dcompose que d'une seule ma- 

 nire en facteurs modulaires irrductibles, dans chacun desquels le coeffi- 

 cient de la plus haute puissance de x peut tre suppos rduit l'unit. 



of Thorme. Les mmes choses tant poses que dans le thorme pr- 

 cdent, concevons que la fonction i{x) soit quivalente au produit de plu- 

 sieurs facteurs modulaires (f{x),.y^{x), '^{^)i > ^n sorte qu'on ait 



(6) f ()= ? (J?) X W ^ W - (od. n). 



Si l'on dsigne par rs[x) un facteur modulaire irrductible, ce dernier ne 

 pourra diviser i(x) sans diviser l'un des facteurs (f{x), ^ {x), i>(ar), .... 



3 Thorme. Les mmes choses tant poses que dans les thormes 

 prcdents, nommons 



les racines relles ou imaginaires de l'quation algbrique 



(7) V!{X) = 0, 



qu'on obtient en galant zro le facteur modulaire et irrductible, repr- 

 sent par le facteur ts [x). La fonction {{x) sera ou ne sera pas divisible par 

 zs(x), suivant que la condition 



(8) f(a)f(S)f(7)... = o (mod.n) 



sera ou ne sera pas satisfaite. 



4* Thorme. Tout commun diviseur modulaire de deux fonctions 

 entires f (Jc), P{x) divise ncessairement leur plus grand commun diviseur. 



Pour montrer une apphcation de ces principes, supposons n = 19, et 



i [x) = x^ t. 



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