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fournironl, quand on y remplacera x par i, les quations imaginaires 



[a + bi) [c -+- d) = ac bd + {ad + bc) /, 



(24) , 



{a b) (c di) = ac bd {ad -+- bc) i , 



et 



(a5) (a + *) (c + ^'') = (ac - bdy -h {ad -f- bc)'. 



Si, dans la dernire on rduit a, b, c,d k des nombres entiers, on obtiendra 

 immdiatement le thorme connu , suivant lequel deux nombres entiers , 

 dont chacun est la somme de deux carrs , donnent encore pour produit une 

 somme de deux carrs. De plus, si dans la premire des quations (24) 

 on pose 



a=cosa, i = sina, c = cos, d=s\n, 



on obtiendra la formule connue 



(26) (cos a -h i sin a) (cos + t sin S) = cos (a + ) -+- i sin (a -I- ) , 



de laquelle on passera immdiatement au thorme de Moivre, compris 

 dans l'quation 



(27) (cos a + I sin a)" = cos na -+- isin na. 



D'ailleurs, quand on voudra dcomposer une quation imaginaire , par 

 exemple Tune quelconque des formules (24), (26), (27), en deux quations 

 relles, on ne devra pas oublier de rduire d'abord chaque membre la 

 forme linaire a -+ bi. Sous cette condition, la formule (27) fournit imm- 

 diatement les valeurs connues de cos ncn, et de sin ncr. exprimes en fonctions 

 entires de cos a et de sin a. 



^ II. application des principes ci-dessus exposs la thorie des nombres. 



it Les principes exposs dans le paragraphe premier, aprs avoir fourni 

 le moyen d'tablir une thorie claire et prcise des quations imaginaires^ 

 peuvent encore tre appliqus avec avantage la thorie des quivalences. 

 Seulement, dans cette thorie, ce que nous avons nomm quation ca- 

 ractristique en X devient une quation ou une quivalence algbrique 

 coefficients entiers; et une racine symbolique i de cette formule caract- 

 ristique est une indtermine laquelle, on peut attribuer dfinitivement, 

 non plus une valeur relle quelconque, mais une valeur entire arbitraire- 



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