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ment choisie. Ajoutons que, s'il s'agit d'quivalences relatives un module 

 premier p, le coefficient de la plus haute puissance de x dans la formul 

 caractristique pourra toujours tre suppos rduit l'unit. 



Je dvelopperai, dans les Exercices d Analyse et de Physique ma- 

 thmatique j la thorie des racines symboliques des quivalences. Je me bor- 

 nerai, pour l'instant, noncer quelques-unes des propositions remar- 

 quables auxquelles mes recherches m'ont conduit. 



" i*' Thorme. Le module/? tant un nombre premier, nommons 'ts[x) 

 un facteur modulaire irrductible , et i une racine symbolique de l'quiva- 

 lence 



(i) cT(a?)^o {moA. p). 



Soient d'ailleurs 



des fonctions entires de x . coefficients entiers. Si la formule 



(2) y (i) X (j) (J; (j) ... = o (mod./j) 



se vrifie , elle entranera l'une des suivantes : 



(3) (p(i) = o, x(f) = o, ij;(r') = o, ... {mod. p). 



2" Thorme. Le module p tant toujours un nombre premier, ts{x) 

 tant un facteur modulaire irrductible , et / une racine symbolique de l'- 

 quivalence (i), nommons f{x, i) une fonction entire de x et de i, qui 

 n'offre que des coefficients entiers, et qui soit du degr n par rapport x. 

 Il pouvant tre un nombre entier quelconque infrieur p. Soient d'ailleurs 



(4) 'O) *( '25* ? 'n-l > 



n fonctions entires de , dont chacune, prise pour valeur de x ., vrifie la 

 formule 



(5) f(^, = ("od. p), 



aucune fonction entire de i ne pourra remplir cette mme condition sans 

 devenir quivalente l'un des termes de la suite (4). 



3*= Thorme. T>es mmes choses tant poses que dans le thorme 

 prcdent, si l'on peut dcomposer la fonction f(j:, ) eu facteurs modulaires 

 symboliques de mme forme qu elle , en sorte qu'on ait 



(6) f(ar,t) = ?(x,i)x(a?,0^(^> ') (mod.;)), 



