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 Supposons maintenant que les deux modules de la srie (i), prolonge 

 indfiniment dans les deux sens, soient, l'un infrieur, l'autre suprieur 

 l'unit; de sorte que , la srie (i) tant divergente , les deux sries 



Uo 1 W| 5 t^i 1 ^3 1 > 



I I I 



Ui Ui M_3 



soient l'une et l'autre convergentes. Alors, la place du 2* thorme, on 

 obtiendra videmment la proposition suivante : 



3* Thorme. Supposons que la srie (i) , qui a pour terme gnral , 

 tant prolonge indfiniment dans les deux sens, les deux modules de cette 

 srie qui correspondent, l'un des valeurs positives, l'autre des valeurs 

 ngatives de l'indice n , soient le premier infrieur, le second suprieur 

 l'unit. Si, en substituant aux variables x, j-, z,... d'autres variables X, J^, Z,... 

 qui soient des fonctions connues des premires, on transforme gnra- 

 lement M en M+, , alors la factorielle P dtermine par l'quation 



(6) P=: ... (, + -1.) (,4-J_^(, + ^)(, + ,)(, + ^)... 



era une fonction de x, j^, z, ... qui se trouvera reproduite par la substi- 

 tution des variables X, K,Z,... aux variables x, j-, z, . . . et par radjonc- 

 tion du facteur Mq ^u rsultat de cette substitution mme. 



Dmonstration. En effet, reprsentons, pour plus de commodit, par 

 F {x, j, z,. . .)\a factorielle P. I/quation (6) donnera 



F(x,j,z,. . .)= .(1+^) (i+;;j^)(i+o)(<+,)(' + 2)..-, 

 puis on en tirera, en remplaant x,j-, z , . . . par X, K, Z, . . . , 



F(X, F, Z, ...) = ... (i + ^) (i + ^) (. +,) (i +,)(! +,) . . . , 

 et par suite 



(7) f(^', j,z, ...) = oF(x,r,z, ...) 



Considrons maintenant une progression gomtrique, et de l'ordre m, 

 dont le terme gnral u , correspondant l'indice n, soit dtermin par une 



C.R., 1845,1" Ssm^sir*. (T. XXjN 1.) ^ 



