f i5 ) 

 vrifiera l'quation linaire 



(8) i{X,jr^Z,...,S^,w) = XJZ...VW[X,r,Z,...,y,fr). 



a* Thorme. Les mmes choses tant poses que dans le i" thorme, 

 la fctorielle P dtermine par l'quation 



(9) p=K)(-"^)(-^:)-(-"^)(-)(-)- 



sera encore une fonction de a', ^, z, . . ., v, tv, qui se trouvera reproduite par 

 la substitution des variables X, Y^ Z,...,P",Pf^aux variables x, ^, 2,.. ,f, w, 

 et par l'adjonction du facteur 



u, 



= xj-z. . .v\v 



au rsultat de cette substitution. Donc, si, pour plus de commodit, l'on d- 

 signe par 



(10) P=: F(x,jr,Z,.. .,(^,W) 



la valeur de P que fournit l'quation (3), la fonction F {x,j-, z,...,v,w) aura 

 la proprit de vrifier l'quation linaire 



(II) F{x,j;z,...,i>,w) = xjz...i>wF{X,r,Z,...,r,PF). 



IV. Nouvelles formules relatives aux progressions gomtriques des divers ordres, et aux 

 fonctions qui se reproduisent par substitution. 



Aux formules gnrales tablies dans le paragraphe prcdent, on peut 

 en joindre quelques autres, qui mritent encore d'tre remarques; celles-ci 

 se dduisent immdiatement de plusieurs nouveaux thormes relatifs aux 

 fonctions qui se reproduisent par substitution. Ces nouveaux thormes peu- 

 vent s'noncer comme il suit. 



i" Thorme. Concevons que l'indice reprsente, au signe prs, un 

 nombre entier. Soit, de plus, 



u 



une fonction de l'indice n et des variables .r,^, z,.... Enfin, supposons que 

 les diverses valeurs de u , savoir, 



[}) ..tt_3, W_2, W_,, Mq ^I> ^iy Mj,..., 



