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forment une srie convergente, prolonge indfiniment dans les deux sens. 

 Si , en substituant aux variables x, y, z,... d'autres variables X, JT, Z,..., qui 

 soient des fonctions connues et dtermines des premires, on transforme g- 

 nralement H en M+, , alors la somme 



(2) s = . . . U^2 -+- "-( -I- + "l + 3 + ... 



de la srie (1) sera une fonction de jc, j', z,... qui se trouvera reproduite 

 par la substitution dont il s'agit. 



Dmonstration. En effet, dsignons, pour plus de commodit, par 

 f (x, j-, z, . . .) la somme s de la svie (i). On aura non-seulement 



f(^, J, z, .. .) = 2 u, 



la somme qu'indique le signe 2 s'tendant toutes les valeurs entires posi- 

 tives, nulle et ngatives de n, mais encore, en vertu de l'hypothse admise, 



f(X, r,z,...) = 2 



-*-) 



et comme, videmment, lu+, ne diffre pas de Iu, on trouvera dfiniti- 

 vemeut 



(3) f[x,j;z,...)={X,r,Z,...). 



2" Thorme. Les mmes choses tant poses que dans le thorme 

 prcdent, la factorielle P dtermine par l'quation 



(4) P= ...(l -|-M_2)(l + "-.)(!+ "o)(l+ 4) (1+ 2)- 



sera encore une fonction de .v , j, z , . . . qui se trouvera reproduite par la 

 substitution des variables X,V,Z,.. . aux variables x ,j,z,. . .. 



Dmonstration. En effet, reprsentons, pour plus de commodit, par 



F (.r , j, z, . . .) la factorielle P. L'quation (4) donnera 



F (07, J, z, ...) = ... (l 4- K-s)(l-+--4)''l + "o)(l +".)(! + ); 



puis on en conclura , en remplaant x, f, z, ., . par X,K,Z,..., 



F(X,r,Z,...)=: ...(H-M_,)(l + "o) (+.) (l-f-a)(l + ,). ...J 



et , par suite , 



.(5) ,{x,f,.z,...)^F{X,r,Z,...). 



