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moyenne de la fonction sera, entre ces limites, indpendante de la valeur /' 

 attribue au module de la variable, 



Il y a plus : en s'appuyant sur la thorie des intgrales singulires, on 

 prouvera aisment qu'on peut tendre le i" thorme au cas mme o la 

 ^ fonction drive devient infinie ou discontinue pour certaines valeurs de la 

 variable et pour des valeurs du module comprises entre les deux limites don- 

 nes. A la vrit, pour l'exactitude de la dmonstration, il convient de sup- 

 poser que le nombre de ces valeurs reste fini. Mais cctle dernire condition 

 se trouve gnralement remplie; et, d'ailleurs, pour prvenir toute objec- 

 tion , nous supposerons que dans les thormes suivants, il s'agit uniquement 

 de fonctions dont les drives ne deviennent pas infinies ou discontinues pour 

 une infinit de valeurs de la variable x. 



En ayant gard la remarque prcdente , et observant qu'une fonc- 

 tion continue de la variable x est tout simplement une fonction continue du 

 module et de l'argument de cette variable, on dduira gnralement du 

 i*"" thorme, la proposition relative au dveloppement des fonctions, sui- 

 vaut les puissances entires des variables, c'est--dire un second thorme 

 dont voici l'nonc : 



/ i" Thorme. Si une fonction de la variable x reste continue entre cer- 

 taines limites du module de cette variable, elle sera, entre ces limites, g- 

 nralement dveloppable en une srie convergente ordonne suivant les 

 puissances entires de x. 



Il importede rappeler ici que le terme indpendant de la variable x, 

 dans le dveloppement d'une fonction de cette variable, sera, comme je l'ai 

 remarqu dans la sance du 23 juillet i843, la valeur moyenne de la fonc- 

 tion, correspondante un module de x pour lequel le dveloppement peut 

 ''^ s'effectuer. Pareillement, le coefficient d'une puissance entire, positive ou 



^ ngative de X , dans le mme dveloppement , sera la moyenne du quotient 



qu'on obtient eft divisant la fonction par cette puissance. On peut donc 

 noncer encore la proposition suivante : 



3* Thorme. Si une fonction de la variable x reste^ continue entre 

 certaines limites du module de cette variable, elle sera entre ces limites g- 

 nralement dveloppable en une srie convergente, dont chaque terme sera 

 le produit d'une puissance entire positive, nulle ou ngative, de x, par la 

 valeur moyenne du rapport de la fonction la mme puissance, cette valeur 

 moyenne tant calcule pour un module de x compris entre les limites 

 donnes. 



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