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11 suit du thorme prcdent que la valeur gnrale d'une fonction 

 de 3C, qui demeure continue entre deux limites donnes du module de la 

 variable x , est compltement dtermine quand on connat la valeur parti- 

 culire que prend cette mme fonction pour une valeur particulire du mo- 

 dule de X, l'argument de x restant d'ailleurs arbitraire. Donc, par suite, 

 deux fonctions de .r qui resteront continues entre deux limites donnes du 

 module de or, seront constamment gales entre elles, si elles deviennent gales 

 pour une valeur particulire de ce module comprise entre les limites dont il 

 s'agit. D'ailleurs, rien n'empchera de supposer que la seconde des deux 

 fonctions se rduit zro. Dans tous les cas, on se trouvera immdiatement 

 conduit, par l'observation c{u'on vient de faire, un nouveau thorme dont 

 voici l'nonc : 



>! 4" Thoiine. Une quation dont les deux membres sont des fonctions 

 de la variable ,r, qui restent continues entre deux limites donnes du mo- 

 dule de cette variable, se vrifiera toujours entre ces limites, si elle se v- 

 rifie pour une seule valeur du module comprise entre les limites dont il 

 s'agit. 



Ce dernier thorme a des rapports intimes avec une proposition de 

 M. Gellerier, rappele dans la sance du 29 janvier 1844? ^t relative une 

 fonction de x qui s'vanouit pour toutes les valeurs relles de la variable. 

 J'ajouterai que l'auteur m'a dit un jour tre parvenu rendre son thorme 

 plus gnral en considrant, je crois, le cas o la fonction de x s'vanouit, 

 non pour toutes les valeurs relles de a:, mais seulement pour celles qui ne 

 dpassent pas certaines limites. 



!) Observons maintenant que les divers thormes ci-dessus noncs peu- 

 vent tre facilement tendus au cas o il s'agit de fonctions de plusieurs va- 

 riables X , j", z,. . . . Alors on obtient, par exemple, la place du 4" tho- 

 rme, la proposition suivante : 



>' 5* Thorme. Une quation dont les deux membres sont des fonctions 

 de JT , j", z, . . . , qui restent continues entre des limites donnes des modules 

 de a:, j", z, . . . , se vrifiera toujours, entre ces limites , si elle se vrifie pour 

 un seul systme de valeurs particulires de ces mmes modules, comprises 

 entre les limites dont il s'agit, 



Observons encore que le second membre de l'quation mentionne 

 dans le 5* thorme pourrait tre la somme d'une srie convergente; et 

 qu'une telle srie restera effectivement fonction continue de x, ^, z,... 

 pour tous les modules de a', ^, z,, . . compris entre certaines limites, si, 



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