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Mais, si l'on remplace rs{x) par 3c"i{pc) dans l'quation (i), la formule (2) 

 donnera 



Donc, aux quations (8) et (9), on pourra substituer la seule formule 



Ajoutons, 1 que l'on arriverait directement cette dernire, en intgrant 

 par rapport l'argument p^ entre les limites ^ = n, p =n, les deux 

 membres de l'quation (7) multiplis par x~"; 1 que des quations (7) et (1 1), 

 jointes la formule (10) ou (2), on peut revenir l'quation (6). 



En vertu de la formule (7) , la fonction {x) qui , par hypothse , reste , 

 avec sa drive, continue par rapport la variable a-, entre deux limites 

 donnes du module r de cette variable, savoir, depuis la limite r =. r,, 

 usqu' la limite /' = R , sera dveloppable, pour toute valeur de r comprise 

 entre ces limites, en une srie convergente ordonne suivant les puissances 

 entires de x. Cette proposition est prcisment le thorme gnral sur la 

 convergence des sries, que j'avais tabli pour le cas o les puissances de x 

 comprises dans les divers termes du dveloppement sont toutes positives, 

 et que M. Laurent a tendu au cas o ces puissances sont, les unes positives, 

 les autres ngatives. 



" En vertu de la formule (11), dans laquelle le module r de ,r devient 

 constant, la valeur de A, c'est--dire le coefficient de jc" dans le dvelop- 

 pement de la fonction f(a^), n'est autre chose que la valeur moyenne du 

 rapport 



^-' 



correspondante une valeur particulire du module r. 



Donc, par suite, une fonction f(x) qui reste, avec sa di'ive, fonction 

 continue de la variable x , entre deux limites donnes /"o, H du module r de 

 cette variable, quel que soit d'ailleurs l'argument p, se trouve compltement 

 dtermine, quand on connat les valeurs particulires qu'elle acquiert pour 

 une valeur particulire du module r comprise entre les limites dont i s'agit. 



