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i dsignant une ,qiiantit infiniment petite que l'on devra rduire zro, 

 aprs les diffrenliations effectues. On trouvera ainsi , pour valeur de l'in- 

 tgrale (i), une fonction rationnelle de Y qui se prsentera sous la forme d'une 

 fraction dont le dnominateur sera (i Y)"+'. Donc, si l'on dveloppe cette 

 intgrale en srie ordonne suivant les puissances entires et ascendantes de Y, 



la srie obtenue sera convergente, non-seulement quand on aura Y < > 



mais encore toutes les fois qu'on aura Y< i. Cette conclusion est d'autant 

 plus remarquable que , dans le cas o l'on suppose Y renferm entre les li- 

 mites I et - , la somme del srie , sans cesser d'tre quivalente au second 



membre de la formule (3), cesse de reprsenter la valeur de l'intgrale (i). 

 Alors , en effet, d'aprs les principes du calcul des rsidus, on doit ajouter au 

 second membre de la formule (3) l'expression 



If. C 1 m (x) _ Y /Y 



(i Y + xY) (Y i)"+' V Y 



Si , pour fixer les ides , on supposait sr (j?) = i , le second membre de la 

 formule (3) se rduirait 



et en ajoutant ce second membre l'expression (4), on obtiendrait une 

 somme nulle. C'est ce qu'il tait facile de prvoir. Car, x tant le module de jr, 

 le rapport 



I Y-f-xY 

 sera dveloppable, ou suivant les puissances positives, ou suivant les puis- 

 sances ngatives de, x, selon qu'on aura Y < ou Y > ; et, par 



suite , le coefficient de j:", dans le dveloppement de ce rapport, sera nul, 

 dans le second cas, pour des valeurs positives de n, taudis que, dans le pre- 

 mier cas, il sera videmment reprsent par l'expression (5). 

 Concevons maintenant que l'on prenne, non plus 



mais 



1 X 



L'intgrale (lo) du P'' deviendra 



