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 suivant les puissances ascendantes de Y, Z, on obtiendra une srie double 

 qui sera convergente avec la srie modulaire correspondante, quand Y et Z 



vrifieront la condition 



Y + Z<i. 



Cela pos, le thorme prcdent, joint la formule (i i) , et au 4* thorme 

 du I", entranera videmment la proposition suivante : 



2* Thorme. Soit j? = re^ *'~ ' une variable imaginaire dont p repr- 

 sente l'argument. Soient de plus ts (x) une fonction de x qui reste continue , 

 pour tout module de x qui ne surpasse pas l'unit, et {(j;z) une fonction 

 de^ qui demeure continue pour tous les modules de j; z qui ne surpas- 

 sent pas certaines limites y, z. Enfin, supposons que, j-, z tant fonctions 

 de X, et la lettre n dsignant un membre entier quelconque, on reprsente 

 par A le coefficient de x" dans le dveloppement de la fonction 



F{x) = r,{x){{j,z); 



et posons encore 

 Si l'on prend 



y z 



I X 



jr =z l X et Z^ 5 



alors au dveloppement de f (jr, z) suivant les puissances entires et ascen- 

 dantes de y, z, correspondra un dveloppement de A , qui sera convergent 

 avec la srie modulaire correspondante, si les valeurs trouves de Y, Z vri- 

 fient la condition 



(la) Y + Z<i. 



Si , dans l'nonc de ce thorme , nous avons omis les deux conditions 



Y<i, Z<., 



qui doivent tre remplies en vertu du thorme i*"^, c'est que chacune de ces 

 deux conditions est une suite ncessaire de la seule condition (12). 



11 Dans un prochain article, je montrerai avec quelle facilit les prin- 

 cipes ci-dessus tablis s'appliquent la recherche des conditions qui doivent 

 tre vrifies, pour que l'on soit assur de la convergence des sries comprises 

 dans les nouvelles formules gnrales auxquelles se rapportent plusieurs de 

 mes prcdents Mmoires. 



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