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 i" Thorme. Soit 



^= re^ 



une variable imaginaire dont r dsigne le module , et p l'argument. Soient, 

 de plus , sr (oc) une fonction de x qui reste continue pour tout module de x 

 qui ne surpasse pas l'unit, et f [y, z) une fonction de^, z qui reste continue 

 pour tous les modules de j-, z qui ne surpassent pas certaines limites y, z. 

 Enfin, nommons F (x) une fonction de x dtermine par le systme des 

 quations 



(l) F{x) = ^{x)f{jr,z), 



(a) j=i-x, z=!~^; 



et supposons que, la lettre u dsignant un nombre entier quelconque, 

 on reprsente par A le coefficient de x" dans le dveloppement de F (x) en 

 srie ordonne suivant les puissances entires positives, nulle et ngatives 

 de X. Au dveloppement de f(j', z) suivant les-puissances entires et ascen- 

 dantes de j-, z, correspondra un dveloppement de A qui sera convergent, 

 avec la srie modulaire correspondante, si les valeurs de y, z vrifient la 

 formule 



(3) -+-<i. 



" La condition que doit remplir la fonction zs (x), assujettie rester con- 

 tinue pour tout module de x qui ne surpasse pas l'unit, pourrait tre rem- 

 place dans l'nonc du i"'' thorme , comme il est ais de le faire voir, par 

 une autre condition gnralement quivalente la premire , savoir, que la 

 fonction zs {x) reste dveloppable en srie convergente ordonne suivant les 

 puissances entires et ascendantes de x, pour tout module de x qui ne sur- 

 passe pas l'unit. Fl suit de cette observation que le i*"" thorme continuera 

 de subsister, si l'on suppose, par exemple, 



73 (x) = (i xy, 



ou 



TS (x) = (l J?)"% 



S dsignant un nombre infrieur l'unit. 



Observons encore que le coefficient A de J",daus le dveloppement de 



