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et de -, c'est--dire tout polynme compos de termes proportionnels 



des puissances entires, positives, nulles et ngatives de x, pourra tre 

 transform en une fonction entire des deux variables^, z; et, rciproque- 

 ment, il suit des formules (3) que toute fonction entire des deux varia- 

 bles j^, z pourra tre transforme eu un semblable polynme. Donc, lors- 

 qu'une fonction F(x) de la variable x aura t dveloppe suivant les puis- 

 sances entires, positives, nulle et ngatives, de cette variable, il suffira de 

 recourir aux quations (4) pour transformer ce dveloppement en une srie 

 ordonne suivant les puissances entires, mais positives de^, z. Si, au con- 

 traire, par un moyen quelconque, on est parvenu dvelopper F [x) en une 

 srie simple, ou mme en une srie double, ordonne suivant les puissances 

 entires, mais positives de^ et z; il suffira de recourir aux quations (3) pour 

 transformer celte srie en un dveloppement ordonn suivant les puissances 

 entires, positives, nulles et ngatives, de la variable x. Il y a plus; on doit 

 tendre cette remarque au cas o la fonction {x) serait dcveloppable en une 

 srie ordonne suivant des puissances fractionnaires ou irrationnelles des va- 

 riables f, z; ce qui arriverait, par exemple, si F {x) pouvait tre considre 

 comme le produit d'un facteur quivalent une puissance positive ou nga- 

 tive, fractionnaire ou irrationnelle, de la variable^, par un autre facteur 

 dveloppable en srie ordonne suivant les puissances enlires et positives 

 des deux variables^, z. 



" Il arrive souvent que le dveloppement de la fonction F(j?) en une 

 srie ordonne suivant les puissances entires de la variable x exige de longs 

 calculs, et qu'il est, au contraire, facile de dvelopper cette fonction en une 

 srie ordonne suivant les puissances ascendantes de la variable compl- 

 mentaire j^ et du rapport z ou - de ces deux variables. Alors les transfor- 

 mations que nous venons de mentionner deviennent trs-utiles; et, par con- 

 squent, la considration de la variable complmentaire founit le moyen 

 d'abrger notablement le travail. 



D'ailleurs, les formules, que fournissent les diverses tiarisformations 

 dont nous venons de parler, subsistent seulement sous certaines c uiditions, et 

 supposent videmment la convergence des sries transformes. Il est essen- 

 tiel de connatre ces conditions, et c'est pour y parvenir qm nous avons 

 tabli la plupart des thormes noncs dans la dernire sance. Nous allons, 

 dans le paragraphe suivant, prsenter quelques observations cju^ permettront 



