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et, en raisonnant comme la page i34 , on prouvera que le dveloppement de 

 l'intgrale (2) en srie ordonne suivant les puissances ascendantes de Y est 

 convergent, avec la srie modulaire correspondante, quand Y vrifie la 

 condition 



Y<i. 



Corollaire 1". Concevons prsent que l'on prenne, non plus 



mais 



L'intgrale (i) deviendra 



Or, si le rapport 



est infrieur la limite x, la valeur de l'intgrale (3), comme on l'a dj 

 remarqu [ page i35], sera ce que devient l'expression 



73 Ix) VS (O) - o' (O) ... ; ; CT <"-'' (o) 



^ ' 1 ^ ' I .2 , . .(72 l) ^ ' 



(i4-Y)x" 



quand on y pose 



Y 



i+Y 



Donc , par suite , pour que le dveloppement de l'intgrale (3) , suivant les 

 puissances entires et ascendantes de Y, reste convergent avec la srie modu- 

 laire correspondante, il suffira que le dveloppement de la fonction 



TS 



{M 



suivant les puissances entires et ascendantes de Y, reste lui-mme conver- 

 gent , avec la srie modulaire qui correspond ce dernier dveloppement. 

 La condition que nous venons d'noncer doit tre gnralement substitue 

 aux conditions (9) de la page i35, et s'accorde d'ailleurs avec elles dans le 

 cas spcial que nous avions particulirement en vue, c'est--dire dans le cas 



