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 a* Thorme. Soit 



x = reP'^^ 



une variable imaginaire dont r dsigne le module , et p l'argument. Soient de 

 plus zs (r) une fonction de jc qui reste continue pour tout modale de x in- 

 frieur une certaine limite x, et {(j, z) une fonction de j, z qui demeure 

 continue pour tous les modules de j, z qui ne surpassent pas certaines li- 

 mites y, z. Faisons d'ailleurs 



Y = i, Z=i, 



y -^ 



et nommons F (x) une fonction de x dtermine par le systme des quations 



(5) F(^) = w(x)f(jr,z), 



(6) j = I X, z = 



I X 



eu sorte que, dans l'quation (5), x^j- reprsentent deux variables compl- 

 mentaires , et z le rapport de ces variables. Enfin , supposons que , pour un 

 module de x infrieur la limite x , mais trs-peu diffrent de cette limite , 

 on ait dvelopp la fonction F (x) suivant les puissances entires, positives , 

 nulle et ngatives de x,et que, la lettre// dsignant un nombre entier quel- 

 conque, on reprsente par A le coefficient de x" dans le dveloppement de 

 F (x). Alors, au dveloppement de f (^, z) suivant les puissances entires et 

 ascendantes de y, z, rpondra un dveloppement de A qui sera convergent 

 avec la srie modulaire correspondante si les valeurs de Y, Z vrifient la con- 

 dition 



(7) Y + Z<,; 



et si , d'ailleurs, la valeur trouve de Y rend convergente la srie modulaire 

 qui correspond au dveloppement de 



ar 



iv 



suivant les puissances entires et ascendantes de Y. 



" En partant du thorme qui prcde, et en raisonnant comme nous 

 l'avons fait dans le Mmoire du 27 janvier [pages 2i3, etc.], on tablira la 

 proposition suivante, qui se trouvera substitue au 2* thorme de la p. 216: 



