( 33o ) 



mrateur l'unit, et pour dnominateur cette mme unit diminue de la 

 somme de deux variables. On pourra dvelopper cette fraction rationnelle 

 en une progression gomtrique dont la raison sera la somme dont il s'agit , 

 puis dvelopper chaque terme de la progression en une srie simple par la 

 formule du binme. On obtiendra ainsi une srie double ordonne suivant 

 les puissances ascendantes et entires des deux variables. Or, cette srie 

 double sera videmment convergente, si les modules des deux variables four- 

 nissent une somme infrieure l'unit. Dans le cas contraire, la srie double 

 deviendra certainement divergente, attendu que , parmi les termes corres- 

 pondants des puissances trs-leves des deux variables, quelques-uns de- 

 viendront trs-considrables. Nanmoins il est facile de s'assurer que, si la 

 somme algbrique des deux variables et le module de chacune d'elles restent 

 infrieurs l'unit, on pourra grouper les termes de la srie double, de ma- 

 nire la transformer en une srie simple convergente, dont chaque terme 

 sera lui-mme la somme d'une autre srie simple convergente. On y par- 

 viendra, par exemple, en supposant que la premire srie simple soit or- 

 donne suivant les puissances ascendantes de la premire variable , et la se- 

 conde srie simple, suivant les puissances ascendantes de la seconde variable. 

 Il importe de faire connatre le parti qu'on peut tirer, dans la haute 

 analyse, du fait important que je viens de signaler. liCs formules aux- 

 quelles je suis parvenu de cette manire sont particulirement utiles dans 

 la thorie des mouvements plantaires. Elles pemiettent d'exprimer, par 

 exemple , toute perturbation relative au systme de deux plantes , et corres- 

 pondante deux multiples donns des anomalies moyennes, par une simple 

 fonction des deux nombres entiei's qui servent de coefficients ces ano- 

 malies. 



ANA LYSE. 



Considrons, pour fixer les ides, une srie double, et supposons cette 

 srie divergente. On pourra souvent, dans cette hypothse, partager les 

 termes en divers groupes, de telle sorte que les termes compris dans chaque 

 groupe forment une srie simple convergente, et que les sommes des sries 

 simples correspondantes aux divers groupes forment leur tour une autre 

 srie simple qui soit encore convergente. Pour dmontrer la vrit de cette 

 assertion , considrons , en particulier, la srie double produite parle d- 

 veloppement de la fonction 



I 



I X ~ y 



