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 et par suite, si l'on a x -(- y < i , puisqu'en vertu de la formule 



(x + y) = 4 xy + (x - y)\ 



la couditiou (i) entrane toujours la condition (4)- Mais, si l'on a au contraire 



(5) 4xy>, 



le rapport dont il s'agit crotra indfiniment avec n. Donc la srie double pro- 

 duite par le dveloppement de la fonction 



I x y 



cessera d'tre convergente, et par suite la formule (3) cessera de subsister, 

 si la condition (5) se vrifie. Toutefois, si les modules des deux variables jc , 

 y et de leur somme x -^ y restent tous trois infrieurs l'unit, alors, en 

 groupant convenablement les termes de la srie double, on pourra la trans- 

 former en une srie simple convergente dont chaque terme soit lui-mme la 

 somme d'une autre srie simple et convergente. En effet, on y parviendra 

 en runissant, dans chaque groupe, tous les termes dans lesquels les expo- 

 sants des variables x ^ y offrent une somme donne, ou bien encore tous les 

 termes proportionnels une mme puissance de j:, ou enfin tous les termes 

 proportionnels une mme puissance de y. Cela pos, la transformation de 

 la srie double eu srie simple produira , dans le premier cas , la formule 



(6) x-x-y = ' -*- (^ +^) + (^' + '^^J ;^*) + *<^ 



qui ne diffre 'pas de l'quation (2), et, dans les deux autres cas, les for- 

 mules 



(7) -; \. -=^6f>--a?(i+J-f-j' + -)+^'('+ 2/-+-3j-)-...) + etc...., 



(8) - _ ' _ = I + j(i-i- 37 + ar'+...) -l-j''(i-t-2j: + 3j:* +...)+ etc...., 

 qui, eu gard aux quations 



I -H X + jt" -h . . . = '- , I + 20- + 3j:' -h . . . = -, , etc. , 



] X \i xy 



