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 correspondante, si le dveloppement de l'intfirale 



('9) iXl^^^^'''^'^^' 



suivant les puissances entires et ascendantes de Y, r ste lui-mme conver- 

 {j[ent avec la srie modulaire correspondante, z dsignant une variable 

 distincte de j^ et qui ait pour module y. 



" Corollaire i". Si l'on suppose que, dans le i" thorme, x , j repr- 

 sentent deux variables complmentaires, en sorte qu'on ait 



j= I - j:, 



alors, d'aprs ce qui a t dit la page i34, on obtiendra pour l'int- 

 grale (19) un dveloppement qui restera convergent avec la srie modulaire 

 correspondante, quand on aura 



(ao) Y < I . 



^' Corollaire a". Si, dans le i*' thorme, on suppose 



alors, d'aprs ce qui a t dit la page 284, on obtiendra pour 1 int- 

 grale (19) un dveloppement qui restera convergent avec la srie modulaire 

 correspondante, si le dveloppement de la fonction 



(ai) H'"^' V' 



suivant les puissances entires et ascendantes de^, reste lui-mme convergent 

 avec la srie modulaire qui correspond ce dernier dveloppement. 



Il Corollaire 3*. Supposons toujours que la fonction f (.r, j) reste con- 

 tinue par rapport j^ pour un module de y gal ou infrieur y. Alors, 

 tant un nombre quelconque, la fonctioti i{x, Bj) restera contiuue par 



rapporta^, pour un module de j- gal ou intrieur |. Donc, si l'on substitue 



Ja fonction f (.r, jr) la fonction f(a?, Qjr), on devra, dans l'intgrale (19), 

 remplacer le binme 



1 - \j = I - y-' j 



