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 conque , et la valeur de Y tant 



Y = i, 



les divers coefficients de j", dans la srie double dont il s'agit, formeront 

 une srie simple qui sera convergente , avec la srie modulaire correspon- 

 dante, si l'on a 



(24) Y < ,, 



ou , ce qui revient au mme, 



(aS) < y. 



" 3* Thorme. Soit f (jt, j) une fonction de x\ jr qui reste continue par 

 rapport y, pour un module x de la variable ar, que l'on suppose dtermine 

 par l'quation 



et pour un module de j gal ou infrieur une certaine limite y. Supposons 

 d'ailleurs que, tant un nombre quelconque , on pose 



1 X 



J X 



et que l'on dveloppe 



f(^, e^)^f(^, i=f) 



en une srie double ordonne suivant les puissances ascendantes de , et 

 suivant les puissances entires de ^. Alors, n tant un nombre entier quel - 

 conque, et la valeur de Y tant 



Y 



> 



y 



les divers coefficients de a?", dans la srie double dont il s'agit, formeront 

 une srie simple qui sera convergente avec la srie modulaire correspon- 

 dante, si le dveloppement de la fonction 



suivant les puissances ascendantes de reste lui-mme convergent avec la 



