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srie modulaire qui correspond ce dernier dveloppement, pour toute 

 valeur de z qui offre un module gal y. 



Dsignons maintenant , pour abrger , par F {pc) la fonction de x repr- 

 sente dans le 2" thorme par 



i[a:, 5(1-^)], 



ou, dans le 2* thorme , par 



Supposons toujours que cette fonction F (jt) soit dveloppe, d'une part, 

 suivant les puissances ascendantes de Q , d'autre part, suivant les puissances 

 entires e x, le nnodule de x tant x. Concevons d'ailleurs que la srie 

 simple forme, dans le dveloppement dont il s'agit, par les divers coefficients 

 de ar", srie qui se trouvera ordonne suivant les puissances ascendantes de 6, 

 reste convergente, en vertu du thorme 2 ou 3, pour toute valeur de B inf- 

 rieur une certaine limite ; et nommons B la somme de cette srie simple. 

 Si l'on attribue B une valeur variable relle ou mme imaginaire, la 

 somme B restera fonction continue de 6, pour tout module de B infrieur 

 . Supposons prsent que l'on dveloppe la fonction F(x), non plus eu 

 une srie double , mais en une srie simple ordonne suivant les puissances 

 entires de J?, le module de x tant toujours x ; et nommons A le coefficient 

 de x'^ dans le nouveau dveloppement de F (.c). On aura gnralement, pour 

 de trs-petites valeurs de B , 



(27) K = K- 



En effet, puisque A et B seront les coefficients ou la somme des coefficients 

 de J" dans la srie simple et la srie double qui reprsenteront les deux d- 

 veloppements de F (a?), il est. clair que la formule (27) devra subsister tant 

 que la srie double sera convergente, ce qui aura certainement lieu lorsque 

 les modules de x et de 6 se rapprocheront assez , le premier de x , le second 

 de zro, pour que la fonction F (x) devienne, en vertu d'un tel rapproche- 

 ment, toujours continue par rapport aux deux variables jt, 6. D'ailleurs l'ijua- 

 tion (27), tant vrifie pour de trs-petites valeurs de B, devra continuer de 

 subsister {voir la sance du 20 janvier, page 1 20) , tant que A et B resteront 

 fonctions continues de B. Elle devra donc subsister pour toute valeur de B in- 

 frieure la limite , si la limite B est telle que la fonction A reste continue, 

 par rapport B, pour tout module de B infrieur cette limite. H y a plus; 



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