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au lieu de supposer la limite dtermine l'aide du thorme 2 ou 3, on 

 pourra simplement astreindre cette limite la condition que nous venons 

 d'indiquer. Cela pos, on pourra videmment, aux thormes 1 et 3, joindre 

 encore la proposition suivante: 



>' 4" Thorme. Soit {x,jr) une fonction de x.,j qui reste continue, par 

 rapport kj, pour un certain module de x reprsent par x , et pour un mo- 

 dule de ^ infrieur une certaine limite y. Supposons d'ailleurs que, Q dsi- 

 gnant une nouvelle variable, on rduise, dans l'expression 



j une fonction de j:, en sorte qu'on ait par exemple 



I .X 



J = i X ou J' = 



Enfin, dveloppons 



considre comme fonction de x et de , en srie ordonne suivant les puis- 

 sances entires, positives nulle et ngatives de x^ le module de x tant x; et 

 nommons A le coefficient de j?" dans le dveloppement ainsi obtenu. Non- 

 seulement A sera dveloppable suivant les puissances ascendantes de la va- 

 riable , tant que le module Q ne dpassera pas la limite au del de laquelle 

 A cesse d'tre fonction continue de Q\ mais, de plus, pour obtenir le dve- 

 loppement de A , il suffira de runir tous les coefficients de af qu'on obtient 

 quand on dveloppe i{x, Qjr) en une srie simple ordonne suivant les puis- 

 sances ascendantes de , puis chaque terme de cette srie simple en une 

 nouvelle srie ordonne suivant les puissances entires de x. 



Aux diverses propositions que je viens d'tablir, il convient de joindre 

 encore un thorme trs-gnral , et trs-utile , en vertu duquel le dvelop- 

 pement d'une fonction suivant les puissances entires d'une variable, calcul 

 pour le cas o le module et l'argument de la variable offrent des valeurs 

 trs-voisines de deux quantits donnes, conserve une forme inaltrable et 

 demeure convergent, tandis que ce module et cet argument varient, pourvu 

 que leurs variations simultanes soient telles que la fonction et sa drive ne 

 cessent pas d'tre continues, si d'ailleurs, dans le cas mme o l'on tient 

 compte de ces variations, les deux modules ou le module unique de la srie 

 simple, qui reprsentait primitivement le dveloppement de la fonction, 

 restent toujours infrieurs l'unit. J'tablirai, dans un prochain article, ce 

 thorme gnral avec les consquences importantes qui s'en dduisent; puis 

 j'appliquerai mes formules la solution de diverses questions, et en par- 

 ticulier des problmes d'astronomie. 



