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 on pourrait encore présenter l'équation (18) sous la forme 



(19) ■ <p(^)_Il(x) = (^-^^^-^-i) 



2j l{l+A^)x 



» Les formules (11), (12), (17) s'accordent avec celles que j'ai données 

 dans la précédente séance, et avec les formules données par M. Binet, pour 

 des valeurs spéciales de({x), dans le Mémoire sur les intégrales Eulériennes. 

 Pour établir ces formules en toute rigueur^ et même pour déterminer la 

 valeur de la constante 9 (i) qu'elles renferment, on peut recourir à la trans- 

 formation des fonctions en intégrales définies. Ainsi, par exemple, pour 

 obtenir la valeur de la fonction 



1 T{x) = ll{x), 



telle que la donne la formule (ly) jointe à l'équation (19), et même pour 

 étendre la formule ainsi obtenue au cas où la variable x admet des valeurs 

 positives quelconques, entières ou non, il suffit d'établir généralement 

 l'équation 



(20) ■ ir(x) = 



.dt 



i)i(x)-x + i,(,,) + jr"(iL^_i) 



Or on peut établir très-simplement cette équation et une multitude 

 d'autres équations de même genre, en s'appuyant sur la théorie des inté- 

 grales singulières,^comme on va le faire voir. 



» Soient u, v deux fonctions de t, qui, demeurant finies pour des valeurs 

 finies et positives de «, s'évanouissent pour < = o ; soit encore y^(z) une 

 fonction qui devienne infinie pour z ^ o, mais reste finie pour toute valeur 

 finie et positive,de z, et supposons que le produit zf[z) se réduise, pour 

 z = o, à une constante finie A-, et, pour z = 30 , à zéro ; soient enfin |x et y 

 les valeurs de D^ u, D^ v correspondantes à une valeur nulle de t. La théorie 

 des intégrales singulières donnera 



(2.) r [j\u)\\u-f v)i\^\di.^k\ 



«/u 



» Si, pour fixer les idées, on pose 



u = t, V = 1x, /'(z) = ^5 



