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déterminée, et cette fonction sera certainement une valeur de l'intégrale 

 2 f (jt), ou, ce qui revient au même, une valeur de ^(x) propre à vérifier 

 l'équation ( 2 ). Car on tire de l'équation (i6) 



(17) A,^x) = ~ f^'^'^{{z)dz-A,f{x), 



et, en vertu de la formule (9), jointe à l'équation (12) ou (i3),.le second 

 membre de l'équation (17) se réduira précisément à f(j?). 



» Au lieu de tirer de la formule (i 2) ou fi -'5) la valeur de (p {x), on pour- 

 rait développer 9 [x) en luie série de termes proportionnels à la fonction 

 f (x) et à ses différences finies des divers ordres; et, pour y parvenir, il 

 suffirait de développer, dans le second membre de la formule (8), l'expres- 

 sion symboli(jue 



I 



suivant la puissance ascendante de A^^. On pourrait aussi, en partant de la 

 formule (10), développer y (x) en une série de termes proportionnels à la 

 fonction dérivée D^ f [x) et à ses différences finies des divers ordres. Mais 

 les valeurs de ip [x)^ ainsi déduites des formules (8) et (i3), ne subsiste- 

 raient que dans le cas où les séries obtenues seraient convergentes, et cette 

 convergence exige que la série formée avec les différences finies de la fonction 

 f [x) ou D^ f ("S^) ait pour module un nombre inférieur ou tout au plus 

 égal à l'unité. 



» Pour montrer une application très-simple des formules que nous 

 venons d'établir, supposons 



{{x) = 





m étant un nombre quelconque. Dans cette hypothèse, la formule (11) 

 pourra être réduite à 



/» 

 /"'-' e-"" dt 

 i e ai, 



et la formule (12) donnera 



(•9) fW = FF-)X"(Td-^.-i)'""'^"'"' 



tandis que l'on aura 



Jj x>" m — i\\'"-' X'"-' j 



